【AAA】二次函数与几何图形综合

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】二次函数与几何图形综合类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题,图象背景往往就是一件衣服,基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式,从而根据题目条件求出更多点的坐标,进而求出线段长度、三角形面积.1.(牡丹江中考)如图,抛物线R=aR2+2R+c经过点A(0,3),B(-1,0),请回答下列问题:(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的顶点为D,对称轴与R轴交于点E,连接BD,求BD的长.2.二次函数R=-R2+mR+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0),R=-R+b经过点B,且与二次函数R=

2、-R2+mR+n交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方),过N作NP⊥R轴,垂足为点P,交BD于点M,求MN的最大值.3.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点,那么直接构造“线段之和最短”问题解决,如果两条线段没有公共端点,那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点,然后应用“线段之和最短”问题解决.4.如图,已知抛物线R=(R+2)(R-4)与R轴

3、交于点A、B(点A位于点B的左侧),与R轴交于点C,M为抛物线的顶点.(1)求点A、B、C的坐标;(2)设动点N(-2,n),求使MN+BN的值最小时n的值.5.如图,已知抛物线R=-(R+2)(R-m)(m>0)与R轴相交于点A,B,与R轴相交于点C,且点A在点B的左侧.(1)若抛物线过点G(2,2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】使AH+CH最小,并求出点H的坐标.6.如图,抛物线R=-R2+bR+c与R轴交于A、B两点,与R轴交于点C,且OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式

4、.(2)点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在R轴的正半轴上,OC在R轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4),C(5,0),二次函数R=R2+bR+c的图象抛物线经过A,C两点.(1)求该二次函数的表达式;(2)F,G分别为R轴,R轴上的动点,顺次连接D,E,F,G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】8.如图,抛物线

5、R=R2+bR+c经过点A(-1,0),B(3,0).请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式;(2)点E(2,m)在抛物线上,抛物线的对称轴与R轴交于点H,点F是AE中点,连接FH,求线段FH的长.9.如图,在直角坐标系ROR中,二次函数R=R2+(2k-1)R+k+1的图象与R轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.参考答案1.(1)∵抛物线R=aR2+

6、2R+c经过点A(0,3),B(-1,0),∴解得∴抛物线的解析式为R=-R2+2R+3.(2)∵R=-R2+2R+3=-(R-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).∴BE=2,DE=4.∴BD==2. 2.(1)∵二次函数R=-R2+mR+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0),∴解得∴二次函数的表达式为R=-R2-2R+3.(2)∵R=-R+b经过点B,∴-×1+b=0.解得b=.∴R=-R+.设M(m,-m+),则N(m,-m2-2m+3),∴MN=-m2-2m+3-(-m+)=-m2-m+=-(m+)2+.∴MN的最大值为. 3.(1)∵该抛物线过点C(0,-2),设该

7、抛物线的解析式为R=aR2+bR-2.将A(4,0),B(1,0)代入,得解得∴此抛物线的解析式为R=-R2+R-2.(2)设D点的横坐标为t(0

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