2018-2019年度数学新学案同步必修5第二章疑难规律方法

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1、''1　数列中的数学思想数学思想在以后的学习中起着重要的作用，若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解.1.方程思想例1　在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求通项an.分析　欲求通项an，需求出a1及q，为此根据题设构造关于a1与q的方程组即可求解.解　方法一　∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.从而解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1或an＝23－n.方法二　由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q

2、2代入已知，得即即将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，由②得或∴an＝2n－1或an＝23－n.2.分类讨论思想例2　已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4也成等差数列，若bn＝，n＝1,2,3，…，证明：{bn}为等比数列.证明　由于lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2＝lga1＋lga4，则a＝a1·a4.设等差数列{an}的公差为d，''则有(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝da1，从而d(d－a1)＝0.(1)当d＝0时，数列{an}为常数列，又bn＝，则{bn}也是常数列，此时{

3、bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.(2)当d＝a1≠0时，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝d＋(2n－1)d＝2nd，所以bn＝＝·，这时{bn}是首项为b1＝，公比为的等比数列.综上，{bn}为等比数列.3.特殊化思想例3　在数列{an}中，若＝k(k为常数)，n∈N*，则称{an}为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是(　　)A.①②B.②③C.③④D.①④分析　本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，

4、排除不正确的判断，从而简捷求解.解析　数列a，a，…，a(a≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足＝k，即不是等差比数列，故②、③不正确.故选D.答案　D''4.整体思想例4　在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________.分析　根据题设条件可知＝q10＝，而＝q90，故可整体代入求解.解析　设等比数列{an}的公比为q，则＝q10＝，又＝q90＝(q10)9＝9，故a99＋a100＝9(a9＋a10)＝.答案　2　求数列通项的四大法宝1.公式法题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝来求解.例1　

5、已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求其通项公式an.解　当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝2×3n－1，又a1＝1≠2×31－1，所以数列{an}的通项公式an＝2.累加法若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项.例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，求其通项公式an.解　由已知，得an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝

6、33，…，an－an－1＝3n－1，以上各式左右两边分别相加，得an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1，所以an＝＋1＝(n≥2)，''又n＝1时，a1＝1＝，所以an＝(n∈N*).3.叠乘法若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项.例3　已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1(an≠0，n≥2)，求其通项公式an.解　由a1＝3，an＝an－1，得＝，所以＝，＝，＝，＝，…，＝(n≥2)，以上各式左右两边分别相乘，得＝，所以an＝(n≥2)，又a1＝3＝，所以an＝(n∈N*).4.构造法

7、当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝，从而构造出等比数列{an＋λ}.例4　数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3(n∈N*)，求其通项公式an.解　设an＋1＋t＝(an＋t)，则an＋1＝an－t，与已知比较，得－t＝3，所以t＝－4，故an＋1－4＝(an－4)，又a1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{an－4}是首项为－3，公比为的等比数列，因此an－4＝－3×n－1，即an＝4－3×n－1(n∈