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《2018版高中数学 第二章 数列疑难规律方法学案 苏教版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章数列1 数列的表示法对于刚接触数列的同学来说，理解数列的概念与表示法，是理解数列的关键一步，也可以为以后的学习奠定良好的基础，下面对数列的四种表示方法作简单的分析．一、通项公式法例1 试写出数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式．解 数列的各项可记为21＋1,22＋1,23＋1,24＋1,25＋1，…，所以数列的通项公式为an＝2n＋1.点评 这类问题关键在于观察各项与对应序号之间的关系，建立合理的联想、转换．写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．通项公式法是数列最重要的一种表示方法．二、列表法例2 数列{an}如下表所示，试归纳其通项公式．n1234
2、5…an…解 数列{an}中各项的分子依次为1,2,3，…，恰好是序号n；各项的分母为2,3,4，…，可看成n＋1，所以数列的通项公式为an＝.点评 由于数列可看成特殊的函数，所以数列也可用列表法表示，列表法具有直观、清晰的特点．三、图象法数列是一类特殊的函数，数列的序号可看成自变量，数列的项可看成函数值，数列的通项公式也就是相应函数的解析式，所以数列可用图象法表示，如数列{n＋2}的图象如图．由图可看出，数列可用一群孤立的点表示，从数列的图象中可以直观地看出数列的变化情况．把数列与函数进行比较，数列特殊在定义域是正整数集或其子集．四、递推公式法例3 将正整数数列1,2,3,4，
3、…的各项按照上小下大、左小右大的原则排成如下图的三角形数表，12 34 5 6……(1)分别写出数表中第4行、第5行的各数；(2)将数表中每行的第一个数组成一个数列，观察规律，给出此数列的一个递推关系式．解 (1)由题意知，第4行的各数为7,8,9,10；第5行的各数为11,12,13,14,15；(2)由数表得，每行的第一个数组成的数列为1,2,4,7,11，…，观察得a2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝4－2＝2，a4－a3＝7－4＝3，a5－a4＝11－7＝4，….所以an－an－1＝n－1，故此数列可表示为a1＝1，an－an－1＝n－1.点评 数列的递推公式是数列的一种
4、表示形式，体现了数列的一种递推关系，一种递推规律．2 数列中的数学思想数学思想在数列的学习中起着重要的作用．若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解．一、方程思想例1 在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求通项an.分析 欲求通项an，需求出a1及q，为此根据题设构造关于a1与q的方程组即可求解．解 方法一 ∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.从而解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1或an＝23－n.方法二 由等比数列
5、的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得即即将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，由②得或∴an＝2n－1或an＝23－n.二、分类讨论思想例2 已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4也成等差数列，若bn＝，n＝1,2,3，…，证明：{bn}为等比数列．证明 由于lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2＝lga1＋lga4，则a＝a1·a4.设等差数列{an}的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝da1，从而d(d－a1)＝0.(1)当d＝0时，数列{an}为常数列，又bn＝，则{bn
6、}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．(2)当d＝a1≠0时，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝d＋(2n－1)d＝2nd，所以bn＝＝·，这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．综上，{bn}为等比数列．三、特殊化思想例3 在数列{an}中，若＝k(k为常数)，n∈N*，则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是________．分析 本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断
7、，从而简捷求解．解析 数列a，a，…，a(a≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足＝k，即不是等差比数列，故②、③不正确．故选①④正确．答案 ①④四、整体思想例4 在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________.分析 根据题设条件可知＝q10＝，而＝q90，故可整体代入求解．解析 设等比数列{an}的公比为q，则＝q10＝，又＝q90＝(q10)9＝9，故a99＋a100＝9(a9＋a10)＝.答案 3 求数列通项的
