2018版高中数学第二章数列疑难规律方法学案新人教b版必修5

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1、第二章数列1　函数的视角看数列数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．下面从函数角度对数列有关问题进行分析，体会数列与函数的有机结合．一、利用函数单调性求数列的最大项例1　已知数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．分析　设an＝f(n)，可通过函数f(n)的单调性来判断数列的单调性，从而求解．解　设an＝f(n)，则f(n)＝nn＋1，f(n＋1)＝(n＋1)n＋2.则f(n＋1)－f(n)＝(n＋1)·n＋2－nn＋

2、1＝n＋1·，当n>3时，f(n＋1)－f(n)<0；当1≤n≤3时，f(n＋1)－f(n)>0.综上可知，{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项，且第3项为最大项．点评　数列可以看作是一个定义在正整数集(或其子集)上的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一组函数值．数列的通项公式体现了数列的项与其序号之间的对应关系．二、利用函数思想求数列的通项例2　已知数列{an}的通项公式an＝n2＋n＋，若：(1)数列{bn}满足bn＝a2n－1，求{bn}的通项公式；(2)数列{cn}满足cn＝a2n－1，求

3、{cn}的通项公式．分析　设an＝f(n)，函数f(n)中的n用某一代数式φ(n)代替，整理，即可求解．解　设f(n)＝n2＋n＋，则：(1)bn＝f(2n－1)＝(2n－1)2＋2n－1＋＝4n2－2n＋，则bn＝4n2－2n＋.(2)cn＝f(2n－1)＝(2n－1)2＋2n－1＋＝4n－2n＋，则cn＝4n－2n＋.点评　数列是特殊的函数，因此要善于运用函数的观点、知识来解决数列的有关问题，居高临下使问题变得清晰，问题的解决也往往简捷得多．三、利用函数周期性求数列的项例3　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2013的值为_

4、_______．分析　如果直接求a2013，运算量太大，而求通项an也很难办到，那么数列{an}的各项之间是否有规律可循？不妨从前几项入手试一试．解析　由a1＝1，a2＝6，及an＋2＝an＋1－an，得a3＝a2－a1＝6－1＝5，a4＝a3－a2＝5－6＝－1，a5＝a4－a3＝－1－5＝－6，a6＝a5－a4＝－6－(－1)＝－5，a7＝1，a8＝6，a9＝5，a10＝－1，a11＝－6，a12＝－5，…，因此{an}是以6为周期的数列，所以a2013＝a6×335＋3＝a3＝5.答案　5点评　由数列的递推公式写出数列的前几项，再由前几项归纳、猜想、发现数列

5、的周期性，从而解决问题.2　求数列通项的四大法宝一、公式法当题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝来求解．例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求其通项公式an.解　当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝2×3n－1，又a1＝1≠2×31－1，所以数列{an}的通项公式an＝二、叠加法若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用叠加法求通项公式．例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n

6、≥2)，求其通项公式an.解　由已知，得an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，an－an－1＝3n－1，以上式子左右两边分别相加，得an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1，所以an＝＋1＝(n≥2)，又当n＝1时，a1＝1＝，所以an＝(n∈N＋)．三、叠乘法若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)f(2)·…f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项公式．例3　已知在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1(an≠0，n≥2)，求其通项公式an.解　由a1＝3，an＝an－1，得＝，所以＝，＝

7、，＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子左右两边分别相乘，得＝，所以an＝(n≥2)，又a1＝3＝，所以an＝(n∈N＋)．四、构造法当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝，从而构造出等比数列{an＋λ}．例4　数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，求其通项公式an.解　设an＋1＋t＝(an＋t)，则an＋1＝an－t，与已知比较，得－t＝3，所以t＝－4，故an＋1－4＝(an－4)．又a1－4＝1－4＝

8、－3≠0，