2018_2019学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线讲义含解析新人教a版选修

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1、四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：(φ为参数)(2)摆线的参数方程：(φ为参数)．圆的渐开线的参数方程[例1]　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨]　关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．[解]　

2、以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则

3、AM

4、＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cosθ，4sinθ)．由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsinθ，－4θcosθ)，所以＝＋＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ))．又＝(x，y)，因此有这就是

5、所求圆的渐开线的参数方程．圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：圆的渐开线的参数方程可化为(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r＝3.答案：32．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)

6、，分别把φ＝和φ＝代入，可得A，B两点的坐标分别为A，B.那么，根据两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为

7、AB

8、＝＝.即A，B两点之间的距离为.圆的摆线的参数方程[例2]　求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数)．[思路点拨]　利用向量知识和三角函数的有关知识求解．[解]　当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，向量＝(2α，2)

9、，向量＝(2sinα，2cosα)，＝(－2sinα，－2cosα)，因此＝＋＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．又动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)所以这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)，(3π＋2,2)

10、4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．解：如图所示，作MA⊥x轴于点A，作CB⊥MA于点B，则xM＝r·φ－r·cos＝r(φ－sinφ)，yM＝r＋r·sin＝r(1－cosφ)．即点M的轨迹方程为一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　)A．π　　　　　　　　　B．2πC．12πD．14π解析：选C　根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数

11、方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有(　　)A．①③B．②④C．②③D．①③④解析：选C　对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知

12、一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为(　　)A.－1B.C.