2018_2019学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修

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1、四　渐开线与摆线学习目标　1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一　渐开线思考　把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案　根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)．显然，点M由角φ惟一确定．梳理　圆的渐开线及其参数方程(1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆

2、的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)参数方程设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是(φ是参数)．知识点二　摆线思考　当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？答案　摆线．梳理　摆线及其参数方程(1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线．(2)参数方程设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数)．8类型一　圆的渐开线例1　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳

3、拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则

4、AM

5、＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cosθ，4sinθ)．由几何知识知，∠MAB＝θ，＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得＝＋＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ))．又＝(x，y)，因此所求的参数方程为反思与感悟　圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．跟踪训练1　已知圆

6、的渐开线方程为(φ为参数)，则该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角坐标为________．答案　　解析　即(φ为参数)．∴基圆半径r＝.当φ＝π时，x＝－，y＝，8∴A的直角坐标为.类型二　平摆线例2　已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为________．答案　解析　由圆的参数方程知，圆的方程为x2＋y2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r＝3，∴圆上定点M的摆线的参数方程为(φ为参数)．当φ＝时，x＝3×＝－3，y＝3×(1－0)＝3，∴A，∴

7、AB

8、＝＝.反思与感悟　(1)摆线的参数方程摆线的

9、参数方程为(φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．跟踪训练2　已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．答案　6　6π解析　当φ＝π时，y＝3－3cosπ＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin2π＝6π为跨度.1．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　)A．πB．3π8C．6πD．10π答案　C2．当φ＝2π时，圆

10、的渐开线(φ为参数)上的点是(　　)A．(6,0)B．(6,6π)C．(6，－12π)D．(－π，12π)答案　C3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是(　　)A．3πB．4πC．5πD．6π答案　C解析　根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.4．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面

11、积和对应的圆的渐开线的参数方程．解　首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数)．1．圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．8一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是(　　)A