江苏专用2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学案苏教版选修1_

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1、2.3.1　双曲线的标准方程学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)　2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)　3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]双曲线的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系b2＝c2－a2[基础自测]1．判断正误：(1)－＝1表示焦点在y轴上的双曲线．(　　)(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.(　　)(3)双曲线

2、的标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　　)【解析】　(1)×.方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线．(2)×.当a＝b时方程也表示双曲线．(3)×.双曲线的标准方程中a，b的大小关系不确定．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，＝，则C的方程是________.【导学号：95902104】【解析】　右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1.8【答案】　－＝1[合作探究·攻重难]求双曲线的标准方程　根据下列条件，求双曲线的标准方

3、程．(1)过点P，Q；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；(3)与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)．[思路探究]　解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式，将两点代入，简化运算过程，解答(2)可设双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)，也可将方程设为－＝1(0＜λ＜6)，把点(－5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求．【自主解答】　(1)方法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∵点P和Q在

4、双曲线上，∴解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将P，Q两点坐标代入可得解得∴双曲线的标准方程为－＝1.方法二：设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为双曲线过点P，Q，所以，解得，所以所求双曲线方程为－＝1.8(2)方法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.方法二：∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.(3)由题意，设双曲线方程为－＝1(

5、a>0，b>0)．∵两双曲线有相同焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2.①又点P(2,1)在双曲线－＝1上．∴－＝1.②由①、②联立，得a2＝b2＝3.故所求双曲线方程为－＝1.[规律方法]　利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求.[跟踪训练]1

6、．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；8(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).【导学号：95902105】【解】　(1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4.∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∵焦点在x轴上，∴所求的双曲线标准方程是－＝1.(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则，∴，∴双曲线方程为－＝1.曲线类型的讨论　已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．[思路探究]　由

7、方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k的值分类讨论，确定曲线类型．【自主解答】　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．[规律方法]　将方程化为标准方程的形式，假如方程为＋＝1，(1)当mn<0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦