2019版高考数学一轮复习 选考部分 坐标系与参数方程学案 理

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1、坐标系与参数方程第1课坐标系[过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离

2、OM

3、叫做点M的极径，记为ρ

4、.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：4．常见曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程ρcosθ＝a

5、24过点，与极轴平行的直线的极坐标方程ρsinθ＝a(0<θ<π)　1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.答案：2．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．解析：把圆ρ＝2cosθ的方程化为(x－1)2＋y2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2.答案：θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝

6、23．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则

7、AP

8、的最小值为________．解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r＝1.因为点P(1,0)到圆心的距离d＝＝2>1，所以点P在圆外，所以

9、AP

10、的最小值为d－r＝2－1＝1.答案：14．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．解析：依题意，

11、得4ρ＋1＝0，即2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，其圆心(0,1)到直线2x＋2y＋1＝0的距离d＝＝<1，则直线与圆相交，故直线与圆的公共点的个数是2.答案：2245．在极坐标系中，过点A引圆ρ＝8sinθ的一条切线，则切线长为________．解析：点A的极坐标化为直角坐标为A(0，－1)，圆ρ＝8sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，圆的标准方程为x2＋(y－

12、4)2＝16，点A与圆心C(0,4)的距离为

13、AC

14、＝5，所以切线长为＝3.答案：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．1．若圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是___

15、_____．解析：因为ρ2－4ρcos－1＝0，所以ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－1＝0，即x2＋y2－2x－2y－1＝0，因此圆心坐标为(1，)．答案：(1，)2．圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心的极坐标为________．解析：将方程ρ＝5cosθ－5sinθ两边都乘以ρ得：ρ2＝5ρcosθ－5ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.圆心的坐标为，化成极坐标为.答案：(答案不唯一)24平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例]　(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A

16、′的坐标．(2)求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．[解]　(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入y＝6x得2