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时间:2019-07-05
《近世代数期末考试题库1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的(c)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有(d)个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b∈G都有解,这个解是(b)乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为
2、有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c)A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d)A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合;,则有-1,0,1,-2,2。2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0
3、的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---------。9、一个除环的中心是一个-域-----。三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换和分别为:,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积:可知为奇置换,为偶置换。和可以写成如下对换的乘积:2解:设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且。若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵,则,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩
4、阵,于是两边必须都等于0,即:16,,所以,表示法唯一。3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)是不是群,为什么?四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、设是群。证明:如果对任意的,有,则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。1、对于G中任意元x,y,由于,所以(对每个x,从可得)。2、证明在F里有意义,作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集(c)是子群。A、B、C、D、2、下面的代数系统(G,*)中,
5、(d)不是群A、G为整数集合,*为加法B、G为偶数集合,*为加法C、G为有理数集合,*为加法D、G为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?(b)A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=
6、a-b
7、4、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=(b)A、B、C、D、5、任意一个具有2个或以上元的半群,它(a)。A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说
8、:任一个子群都同一个---变换全-------同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于-25-----。4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=---2--。6、若映射既是单射又是满射,则称为---双射--------------。167、叫做域的一个代数元,如果存在的--不都等于林---使得。8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为----单位元-----。9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、------
9、---。10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是----------。三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,(12)},写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合,“”是数的乘法,则“”是E中的运算,(E,)是一个代数系统,问(E,)是不是群,为什么?1、解:H的3个右陪集为:{I,(12)},{(123),(13)
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