高中数学第三章三角恒等变换三角恒等变换的应用习题课课后习题新人教a版

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1、习题课——三角恒等变换的应用1.函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2解析:f(x)=sin2x+cos2x=sin,所以最小正周期为T==π,振幅A=1.答案:A2.下列关于函数y=的图象说法正确的是(　　)A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于点(π,0)对称D.关于点对称解析:y==tan,令,k∈Z,∴x=kπ,k∈Z.∴图象关于点(kπ,0)对称.故选C.答案:C3.函数y=sin2x+

2、sin2x的值域是(　　)A.7B.C.D.解析:∵y=sin2x+sin2x=sin2x+=sin,∴所求函数的值域为.答案:C4.(2016·广东广州模拟)设a=2sin13°cos13°,b=,c=,则有(　　)A.cc;在上tanα>sinα,所以b>a,所以c

3、地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为a,则当矩形ABCD的面积最大时,AD的长为(　　)A.aB.aC.D.7解析:如图所示,设∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=acosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,∴S=2acosθ·asinθ=a2·2sinθcosθ=a2sin2θ.∵θ∈,∴2θ∈(0,π).∴当2θ=,即θ=时,Smax=a2,此时,A,D距离O点都为a.∴AD=a.答案:A6.

4、函数y=cos2+sin2-1的最小正周期为　　　　　. 解析:∵y=cos2+sin2-1=-1=sin2x,∴T==π.答案:π7.已知,则sinx-cosx=　　　　　. 7解析:原式===2sinxcosx=,由于cosx,故sinx-cosx=.答案:8.设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a为实数)在区间上的最小值为-4,则a的值等于　　　　　. 解析:f(x)=2cos2x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=2sin+a+1.当x∈时,2x+,∴f(x

5、)min=2×+a+1=-4,∴a=-4.答案:-49.导学号08720096设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C的值为　　　　　. 解析:易知m·n=sinAcosB+cosAsinB7=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.又cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,所以sinC=1-cosC,即sinC+cosC=1,所以2sin=1,即sin.由于

6、(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈.(1)若

7、a

8、=

9、b

10、,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.解:(1)由已知

11、a

12、==2,

13、b

14、==1.∵

15、a

16、=

17、b

18、,∴2=1.又x∈,∴sinx=.∴x=.(2)f(x)=a·b=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin.7∵0≤x≤,∴-≤2x-.∴当2x-,即x=时,f(x)max=.即当x=时,f(x)取得最大值为.11.导学号08720097已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cos

19、ωx-sinωx,2cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围.解:f(x)=a·b+λ=(sinωx-cosωx)(sinωx+cosωx)+2sinωxcosωx+λ=sin2ωx-cos2ωx+2sinωxcosωx+λ=sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin+λ.(1)因为函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,所以2ω×π

20、-=kπ+,k∈Z,解得ω=,k∈Z.7又ω∈,所以k=1,则ω=,所以f(x)=2sin+λ的最小正周期为.(2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,即λ=-2sin=-2sin=-,故f(x)=2sin.由0≤x≤,有-x-,所以-≤sin≤1,得-1-≤2sin≤2-,故函数f(x)在上的取值范围为[-1-,2-].7