高中数学 第三章 三角恒等变换 三角恒等变换的应用习题课课后习题 新人教a版必修4

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1、习题课——三角恒等变换的应用1.函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2解析:f(x)=sin2x+cos2x=sin,所以最小正周期为T==π,振幅A=1.答案:A2.下列关于函数y=的图象说法正确的是(　　)A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于点(π,0)对称D.关于点对称解析:y==tan,令,k∈Z,∴x=kπ,k∈Z.∴图象关于点(kπ,0)对称.故选C.答案:C3.函数y=sin2x+sin2x的值域是(　　)A.B.C.D.解析:∵y=sin2x

2、+sin2x=sin2x+=sin,∴所求函数的值域为.答案:C4.(2016·广东广州模拟)设a=2sin13°cos13°,b=,c=,则有(　　)A.cc;在上tanα>sinα,所以b>a,所以c

3、长为a,则当矩形ABCD的面积最大时,AD的长为(　　)A.aB.aC.D.解析:如图所示,设∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=acosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,∴S=2acosθ·asinθ=a2·2sinθcosθ=a2sin2θ.∵θ∈,∴2θ∈(0,π).∴当2θ=,即θ=时,Smax=a2,此时,A,D距离O点都为a.∴AD=a.答案:A6.函数y=cos2+sin2-1的最小正周期为　　　　　. 解析:∵y=cos2+sin2-1=-1=sin2x,∴T==π.答案:π7.已知,则sinx-cosx=　　　　　. 解析:原式===2

4、sinxcosx=,由于cosx,故sinx-cosx=.答案:8.设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a为实数)在区间上的最小值为-4,则a的值等于　　　　　. 解析:f(x)=2cos2x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=2sin+a+1.当x∈时,2x+,∴f(x)min=2×+a+1=-4,∴a=-4.答案:-49.导学号08720096设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C的值为　　　　　. 解析:易知m·n=sinAcosB

5、+cosAsinB=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.又cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,所以sinC=1-cosC,即sinC+cosC=1,所以2sin=1,即sin.由于

6、a

7、=

8、b

9、,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.解:(1)由已知

10、a

11、==2,

12、b

13、==1.∵

14、a

15、=

16、b

17、,∴2=1.又x∈,∴sinx=.∴x=.(2)f(x)=a·b=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin.∵0≤x

18、≤,∴-≤2x-.∴当2x-,即x=时,f(x)max=.即当x=时,f(x)取得最大值为.11.导学号08720097已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围.解:f(x)=a·b+λ=(sinωx-cosωx)(sinωx+cosωx)+2sinωxcosωx+λ=sin2ωx-cos2ωx+2sinωxcosωx+λ=sin

19、2ωx-cos2ωx+λ=2sin+λ.(1)因为函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,所以2ω×π-=kπ+,k∈Z,解得ω=,k∈Z.又ω∈,所以k=1,则ω=,所以f(x)=2sin+λ的最小正周期为.(2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,即λ=-2sin=-2sin=-,故f(x)=2sin.由0≤x≤,有-x-,所以-≤sin≤1,得-1-≤2sin≤2-,故函数f(x)在上的取值范围为[-1-,2-].