绕任意轴旋转

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1、几何变换详解在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换（Translation），缩放变换（Scaling），旋转变换（Rotation）。以下讨论皆针对DirectX，所以使用左手坐标系。平移变换将三维空间中的一个点[x,y,z,1]移动到另外一个点[x',y',z',1]，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx,dy=Ty,dz=Tz,即x'=x+Txy'=y+Tyz'=z+Tz平移变换的矩阵如下。缩放变换将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是[x,y,z,1]，变换后的点是[x',y',z',1]，那么x'=x*Sx

2、y'=y*Syz'=z*Sz缩放变换的矩阵如下。旋转变换这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。绕X轴旋转绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看）。[x,y,z,1]表示变换前的点，[x',y',z',1]表示变换后的点。变换矩阵如下。关于旋转的正方向，OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如ComputerGraphicsCVersion，p409。绕Y轴旋转绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化

3、，x坐标和z坐标绕Y轴旋转θ度。[x,y,z,1]表示变换前的点，[x',y',z',1]表示变换后的点。变换矩阵如下。绕Z轴旋转绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕Z轴旋转θ度。[x,y,z,1]表示变换前的点，[x',y',z',1]表示变换后的点。变换矩阵如下。绕坐标轴旋转的矩阵推导上面三个旋转矩阵是如何得来的呢？我们推导一下，首先看一下二维的情况，再扩展到三维即可。实际上上面三种绕坐标轴旋转的情况属于特殊的二维旋转，比如绕Z轴旋转，相当于在与XOY平面上绕原点做二维旋转。假设点P(x,y)是平面直角坐标系内一点，其到原点的距离为r，其与X轴的夹角为A，现将点P

4、绕原点旋转θ度，得到点P'(x',y')，P'与X轴的夹角为B，则A=B-θ。（注意，在二维坐标中，逆时针旋转时角度为正，顺时针旋转时角度为负，下图中由P旋转到P'，角度为θ，若是由P'转到P，则角度为-θ）。于是可得下面的转换方程（式一）写成矩阵的形式就是求得旋转矩阵为由于这里使用齐次坐标，所以还需加上一维，最终变成如下形式绕Z轴旋转矩阵和前面给出的绕Z轴旋转矩阵完全吻合。对于绕X轴旋转的情况，我们只需将式一中的x用y替换，y用z替换，z用x替换即可。替换后得到(式二)对应的旋转矩阵为绕X轴旋转矩阵对于绕Y轴旋转的情况，只需对式二做一次同样的替换即可，的到的变换方程为对应的变换矩阵为

5、绕Y轴旋转矩阵逆矩阵平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反。缩放变换的逆矩阵正好和原来的效果相反，如果原来是放大，则逆矩阵是缩小，如果原来是缩小，则逆矩阵是放大。==HappyCoding==作者：zdd出处：http://www.cnblogs.com/graphics/绕任意轴旋转绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的，对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。·将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作·旋转，对应操作·步

6、骤1的逆过程，对应操作整个过程就是对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）1将旋转轴平移至原点2将旋转轴旋转至YOZ平面3将旋转轴旋转至于Z轴重合4绕Z轴旋转θ度5执行步骤3的逆过程6执行步骤2的逆过程7执行步骤1的逆过程假设用v1(a1,b2,c2)和v2(a2,b2,c2)来表示旋转轴，θ表示旋转角度。为了方便推导，暂时使用右手系并使用列向量，待得出矩阵后转置一下即可，上面步骤对应的流程图如下。步骤1是一个平移操作，将v1v2平移至原点，对应的矩阵为步骤2是一个旋转操作，将p(p=v2-v1)旋转至XOZ平面，步骤3也是一个旋转操作，将p旋转至与Z轴

7、重合，这两个操作对应的图如下。做点p在平面YOZ上的投影点q。再过q做Z轴垂线，则r是p绕X轴旋转所得，且旋转角度为α，且,于是旋转矩阵为现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合，旋转的角度为-beta（方向为顺时针），且,于是得到旋转矩阵为最后是绕Z轴旋转，对应的矩阵如下如果旋转轴是过原点的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中间五个矩阵连乘起来，再转置一下，得到下面的绕任意轴旋转的矩阵即对应的函数代码如下。voidRotateArbit