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时间:2019-06-29
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1、直线与圆定值定点最值经典题训练1.已知过点A(0,1),且斜率为k的直线与圆相交于M,N两点.(1)求实数k的取值范围;(2)求证:AM⋅AN为定值;2.已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1(a>0)关于直线3x﹣2y=0对称,且与直线3x﹣4y+1=0相切.(1)求圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM→⋅ON→=6(O为坐标原点)若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.3.已知圆O:x2+y2=1,直线l过点A(3,0)且与圆O相切.(I)求直线l的方程;(II)如图,圆O与x轴交于P,Q两点,点M是圆O上异于P�Q的任意一
2、点,过点A且与x轴垂直的直线为l1,直线PM交直线l1于点E,直线QM交直线l1于点F,求证:以EF为直径的圆C与x轴交于定点B,并求出点B的坐标.4.已知圆C:(x-4)2+(y-1)2=4,直线l:2mx-(3m+1)y+2=0(1)若直线l与圆C相交于两点A,B,弦长AB等于23,求m的值;(2)已知点M(4,5),点C为圆心,若在直线MC上存在定点N(异于点M),满足:对于圆C上任一点P,都有
3、PM
4、
5、PN
6、为一常数,试求所有满足条件的点N的坐标及改常数.5.如图在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-2)2=1,且圆C与y轴交于M,N两点(点N在点M的上方),直
7、线l:y=kx(k>0)与圆C交于A,B两点。(1)若AB=255,求实数k的值。(2)设直线AM,直线BN的斜率分别为k1,k2,若存在常数a使得k1=ak2恒成立?若存在,求出a的值.若不存在请说明理由。(3)若直线AM与直线BN相较于点P,求证点P在一条定直线上。参考答案1.(1)[4-73,4+73];(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围;(2)由题意可得,经过点M,N,A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程化简,再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1
8、+x2和x1⋅x2的值,可得y1⋅y2=kx1+1kx2+1的值,利用AM⋅AN=x1,y1-1⋅x2,y2-1=x1⋅x2+y1⋅y2-y1+y2+1,即可得出结论.【详解】(1)由题意过点A(0,1)且斜率为k的直线的方程为y=kx+1,代入圆C的方程得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,∵直线与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点,所以Δ=[-4(1+k)]2-4×7×(1+k2)>0,解得4-739、),x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2,y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=4(1+k)1+k2+2,y1y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1所以AM⋅AN=(x1,y1-1)⋅(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=x1x2+k2x1x2=71+k2+7k21+k2=7,∴AM⋅AN为定值.【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:①从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中10、消去变量,从而得到定值.2.(1)(x﹣2)2+(y﹣3)2=1(2)不存在直线l【解析】【分析】(1)根据题意,分析可得&d=11、3a-4b+112、5=1&3a-2b=0,解可得a、b的值,由圆的标准方程即可得答案;(2)假设存在满足题意的直线l,设M(x1,y1)N(x2,y2),联立直线与圆的方程,由直线与圆相交可得△=(2k+4)2﹣16(1+k2)>0,由数量积的计算公式可得OM→•ON→=(1+k2)41+k2+2k(2k+4)1+k2+4=6,解可得k的值,验证是否满足△>0,即可得答案.【详解】(1)根据题意,圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1(a>0)关于直线3x﹣13、2y=0对称,即圆心(a,b)在直线3x﹣2y=0上,圆C与直线3x﹣4y+1=0相切,则C到直线l的距离d=r=1,则有&d=14、3a-4b+115、5=1&3a-2b=0,解得&a=2&b=3或&a=-43&b=-2(舍)∴圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.(2)假设存在直线l,使得OM→⋅ON→=6,设M(x1,y1)N(x2,y2),由&y=kx+2&(x-2)2+(y-3)2=1得(1+k2)x2﹣(2k+4)x+4=0,由△=(2k+4)2﹣16(1+
9、),x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2,y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=4(1+k)1+k2+2,y1y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1所以AM⋅AN=(x1,y1-1)⋅(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=x1x2+k2x1x2=71+k2+7k21+k2=7,∴AM⋅AN为定值.【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:①从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中
10、消去变量,从而得到定值.2.(1)(x﹣2)2+(y﹣3)2=1(2)不存在直线l【解析】【分析】(1)根据题意,分析可得&d=
11、3a-4b+1
12、5=1&3a-2b=0,解可得a、b的值,由圆的标准方程即可得答案;(2)假设存在满足题意的直线l,设M(x1,y1)N(x2,y2),联立直线与圆的方程,由直线与圆相交可得△=(2k+4)2﹣16(1+k2)>0,由数量积的计算公式可得OM→•ON→=(1+k2)41+k2+2k(2k+4)1+k2+4=6,解可得k的值,验证是否满足△>0,即可得答案.【详解】(1)根据题意,圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1(a>0)关于直线3x﹣
13、2y=0对称,即圆心(a,b)在直线3x﹣2y=0上,圆C与直线3x﹣4y+1=0相切,则C到直线l的距离d=r=1,则有&d=
14、3a-4b+1
15、5=1&3a-2b=0,解得&a=2&b=3或&a=-43&b=-2(舍)∴圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.(2)假设存在直线l,使得OM→⋅ON→=6,设M(x1,y1)N(x2,y2),由&y=kx+2&(x-2)2+(y-3)2=1得(1+k2)x2﹣(2k+4)x+4=0,由△=(2k+4)2﹣16(1+
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