2019高考数学考点突破——三角函数与解三角形：函数y＝asin（ωx＋φ）的图象学案

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1、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【考点梳理】1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示x－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移⇓　　　　　　　　　　　　⇓【考点突破】考点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【例1】已知函数f(x

2、)＝3sin，x∈R.(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？[解析](1)列表取值：xππππx－0ππ2πf(x)030－30描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.6(2)先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.【类题通法】1．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点

3、的确定．2．变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．【对点训练】1．设k∈R，则函数f(x)＝sin＋k的部分图象不可能为(　　)[答案]D[解析]当k＝0时，f(x)＝sin＝，其图象为A；当k＝2时，f(x)＝sin＋2，其图象为B；当k＝－1时，f(x)＝sin－1，其图象为C；由选项D的图象可知f(x)max＝2，则2＝1＋k⇒k＝1.此时，f(x)＝sin＋1的图象关于直线x＝对称，这与图象不符，故选D.2．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)6A．向左平移个单位

4、B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位[答案]A[解析]由y＝sin2x的图象得到y＝sin的图象只需向左平移个单位，故选A.考点二、由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，

5、φ

6、＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.(2)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asinωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D

7、．向右平移个单位长度[答案](1)f(x)＝sin　(2)B[解析](1)由题图可知A＝，法一＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，6又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)＝sin.(2)由题图知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，将代入得cos＝1，∵－π<φ<0，∴－<＋φ<，∴＋φ＝0，∴φ＝－，∴f(x)＝2cos＝2sin，故将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象．【类题通

8、法】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.【对点训练】1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)A．y＝2sinB．y＝2si

9、nC．y＝2sinD．y＝2sin6[答案]A[解析]由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω>0，<φ<，x∈R）的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.[答案]3＋[解析]由题图可知A＝2，＝－，则T＝2π，ω＝1.再根据f＝2，得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又－<φ<，所以φ＝.因此A＋ω＋φ＝3＋.考点三、函数y＝Asin(ω

10、x＋φ)图象与性质的应用