高中数学第一章立体几何初步1.2直观图学案北师大版必修2

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1、§2　直观图学习目标　1.掌握斜二测画法的作图规则(重点)；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图(重、难点).知识点一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面.2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.【预习评

2、价】相等的角在直观图中还相等吗？提示　不一定，例如正方形的直观图为平行四边形，则原相等的角，直观图中不相等.知识点二　空间几何体直观图的画法1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.3.画侧棱：已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.【预习评价】空间几何体的直观图唯一吗？提示　不唯一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.题型一　画水平放置的平面图形

3、的直观图【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.11　　　(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法　(1)例1巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取

4、适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.【训练1】　用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示.题型二　简单几何体的直观图【

5、例2】　用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.解　画法步骤：(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，C

6、C′，DD′.11(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.规律方法　直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.【训练2】　画出底面是边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图.解　(1)画轴.画x轴、y轴

7、、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2cm，EF＝0.6cm.(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5cm.(4)成图.顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.【探究1】　如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解　①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′

8、，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；11③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.【探究2