2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1.2直观图学案北师大版必修2

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1、2017-2018学年高中数学必修2学案1.2直观图[核心必知]1．斜二测画法的规则(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.2．立体图形的直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′

2、轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面，平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．[问题思考]1．斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？提示：斜是指坐标轴倾斜，使之成45°，二测是指测量与x轴平行的线段长度不变，测量与y轴平行的线段长度减半．2．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗？提示：平行．3．空间几何体的直观图一定唯一吗？提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．　讲一讲1．用斜二测画法画边长为4cm

3、的水平放置的正三角形的直观图．112017-2018学年高中数学必修2学案[尝试解答]　法一：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2)画对应的x′轴、y′轴

4、，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．练一练1．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解：画法：(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，以AB中点O为原点，建立直

5、角坐标系，设y轴与DC交于点E，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点作C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图(2)．112017-2018学年高中数学必修2学案讲一讲2．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[尝试解答]　画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或

6、135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．练一练2．画出五棱柱的直观图．解：画法：(1)画轴：画x′轴，y′轴，z′

7、轴，记坐标原点为O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在俯视图中，建立直角坐标系xOy(如图①)，利用斜二测画法画出底面ABCDE的直观图A′B′C′D′E′.(3)画侧棱：过A′，B′，C′，D′，E′各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取A′A″，B′B″，C′C″，D′D″，E′E″，使它们都等于主视图中矩形的高．(4)成图：连接A″B″，B″C″，C″D″，D″E″，E″A112017-2018学年高中数学必修2学案″，并加以整理(去掉辅助线，并将被

8、遮住的部分改为虚线)，就得到原几何体的直观图(如图②)．　讲一讲3．一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．[尝试解答]　如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过D′作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形．所以E′C′＝.再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)所示，在x轴上截取线