用分离常数法解高考题

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1、用分离常数法解2014年高考题1用分离常数法讨论方程根的个数题1(2014年高考课标全国卷I理科第11题即文科第12题)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是()A.B.C.D.答案C解因为函数的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”，也等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”．用导数容易作出曲线如图1所示：图1由图1可得答案C．题2(2014年重庆卷文科第10题)已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案A解设，题意即曲线与直线有两个公共点．因为，由复合

2、函数单调性的判别法则“同增异减”可得函数在上是减函数，在上均是增函数，从而可作出曲线的草图如图2所示，由此可得答案．图2题3(2014年高考江苏卷第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是．答案解作出函数的图象如图3所示：图3有；当且仅当时，；．关于方程即在上有10个零点，即曲线与直线在上有10个交点．因为函数的周期为3，所以直线与曲线有4个交点，得所求实数的取值范围是．题4(2014年高考天津卷理科第14题)已知函数f(x)＝

3、x2＋3x

4、，x∈R．若方程f(x)－a

5、x－1

6、＝0恰有4个互异的实数根，则

7、实数a的取值范围为________．答案(0,1)∪(9,＋∞)解因为不是原方程的根，所以设后可得本题等价于：若关于的方程恰有4个互异的实根，则实数a的取值范围为________．(1)作出对勾函数的图象如图4所示：图4(2)再由平移可作出函数的图象如图5所示：图5(3)作出函数的图象如图6所示：图6因为关于的方程的互异实根个数即两条曲线公共点的个数，所以由图6可得结论：①当时，原方程互异实根的个数是0；②当或时，原方程互异实根的个数是2；③当或9时，原方程互异实根的个数是3；④当或时，原方程互异实根的个数是4．所以本题的答案是(0,1)∪(9,＋∞)．题5(2014年高考

8、天津卷文科第14题)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a

9、x

10、恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．答案(1,2)简解因为不是函数y＝f(x)－a

11、x

12、的零点，所以可得本题等价于：若两条曲线恰有4个公共点，则实数a的取值范围为________．同题4的解法，可作出曲线如图7所示：图7由图7可得结论：①当时，原方程互异实根的个数是0；②当或时，原方程互异实根的个数是3；③当时，原方程互异实根的个数是6；④当时，原方程互异实根的个数是5；⑤当时，原方程互异实根的个数是4．所以本题的答案是(1,2)．题6(2014年高考天津卷理科第20(1)题)设f(x)＝x－

13、aex(a∈R)，x∈R．已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1

14、知函数．(1)求在区间上的最大值；(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切？只需写出结论．解(1)(3)略．(2)．当点在曲线上即时：又当点是切点时，曲线过点的切线是1条．又当点不是切点时，可设切点为，得所以此时过点的切线是1条．得过点存在2条直线与曲线相切，不合题意．所以，即点不在曲线上．可设切点为，得题意即这个一元三次方程也即关于的一元三次方程有三个实根．用导数知识可作出函数的图象如图10所示：图10由图10可得所求的取值范围是．题9(2014年广东卷文科第21题)已知函数R)．(1)求函数的单调区间；(2)当时，试讨论是

15、否存在，使得．解(1)略．(2)方程，即①所以“当时，存在，使得”“当时，方程①在时有解”“当时，关于的方程有解”因为函数的值域是，所以“当时，存在，使得”由此得本题的答案是：当时，当且仅当时，存在，使得．注由以上解法还可得下面的结论：若R)，则(1)当且仅当时，关于的方程无解；(2)当且仅当时，关于的方程有唯一解；(3)当且仅当且时，关于的方程有且仅有两个解．题10(2014年高考山东卷理科第20题)设函数为常数，是自然对数的底数)．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．解(