高中数学竞赛

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1、模拟试题一2010年全国高中数学联赛模拟试题武钢三中岑爱国一试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程2．如图，在=，则m+2n的值为３．4．单位正方体这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为　　　.５．设数列6．已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则

2、x

3、+

4、y

5、+

6、z

7、的最小值为7．若8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段．二、解答题（共５６分）9．（16分）设之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列的通项公式；（2）设集合，求证：．10．（20分）过抛物线

8、的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a，b满足的条件，使得一定存在整数k，有成立．二试一．（40分）如图，已知求证：二．（40分）设．三.（50分）已知n个四元集合，试求n的最大值．这里四．（50分）设为正整数的二进制表示数的各位数字之和，为数列的前n项和.若存在无穷多个正整数n，满足，且m，则称是“好数”.试问：（1）2，3，5是否都是好数？（2）是否都是好数？模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题江苏省盐城中学陈健第一试一、填空题：（每小题7分，共计56分）1.若函数图象经过点（2，4），则的反函数必过点___

9、_______2.、、是从集合中任意选取的3个不重复的数，则为奇数的概率为___________3.已知数列的通项公式是，则数列的前项和=_____4.抛物线的准线与轴交于点，过作直线交抛物线于点、，点在抛物线对称轴上，且，则的取值范围是____________5.已知，直线与的交点在直线上，则ABCD6.如图，四面体中，为等腰直角三角形，，，且，则异面直线与的距离为______________7.已知点、，且满足，则长的取值范围是________8.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_不同的染法.（用数字作答）二、解答题：（三题

10、共计44分）9.（本题14分）已知二次函数，设方程有两个实数根．①如果，设函数的对称轴为，求证：；②如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围.10．（本题15分）数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数11.（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合.求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上.第二试1.（本题50分）凸四边形中，是最长边，点分别在边上，且线段平

11、分四边形的面积，求证：线段平分对角线.2.（本题50分）定义，其中为正实数，求的值域.3.（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖.4.（本题50分）设是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数，下述不定方程有无穷多个正整数解.模拟试题三全国高中数学联赛模拟试卷福州一中危志刚第一试一，填空题（每小题7分，共56分）1、设适合等式则的值域是2、若对所有正数不等式都成立，则的最小值是3、等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有个.4、在平面直角坐标系中，定义点、

12、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　．5、将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有种不同的染法.（用数字作答）6、若为一个平方数，则正整数7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为8、设函数，且，，则二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分）9．已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛

13、物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积．10．数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n．11．对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？第二试（每题50分，共200分）1、已知，、、、是圆上顺次四点，且，，的平分线交圆于，的平分线交圆于，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么必为圆的直径．2、设，求的最大值和最小值．3、求所有满足方程组的三元实数组．4、将8个车放到如图的9×9棋盘中，