高考数学专题6函数、导数、不等式第12讲函数与方程及函数的应用学案文

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1、第12讲　函数与方程及函数的应用高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1：函数的零点2017全国卷ⅢT12；2014全国卷ⅠT121.考查频率较小，但要引起重视.2.一般出现在第12题位置，难度较大.题型2：恒成立、能成立(存在性)问题2013全国卷ⅠT12；2013全国卷ⅡT12题型1　函数的零点■核心知识储备·1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系

2、函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．■高考考法示例·【例1】　(1)(2018·贵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝4x－1，则函数h(x)＝(x－1)f(x)－1在区间上所有零点之和为(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1(2)(2018·青岛模拟)已知函数f(x)＝若对函数y＝f(x)－b，当b∈(0,1)时总有三个零点，则a的取值范围为________．(1)A　(2)(－∞，－2]　[(1)由已知f

3、(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)的周期是2，且f(x＋1)＝f(－x)得x＝7是其中一条对称轴，又当x∈时，f(x)＝4x－1，于是f(x)图象如图所示，又函数h(x)＝(x－1)f(x)－1零点即为y＝f(x)图象与y＝的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1,0)对称，所以x1＋x4＝2，x2＋x3＝2，所以零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选A.(2)当x≤0时，f(x)＝ex，y＝f(x)－b有一个零点，则当x＞0时，f(x)＝x2＋ax＋1，函数y＝f(x)－b应有两个零点，由f(x)＝x2＋a

4、x＋1＝2＋1－知.解得a≤－2.][方法归纳]1．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．■对点即时训练·1．已知f(x)是

5、定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2018x＋log2018x，则函数f(x)的零点个数是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4C　[在同一直角坐标系中作出函数y＝2018x和y＝－log2018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2018x＋log2018x在x∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，∴函数f(x)的零点个数是3.]72．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)A．

6、[－1,1)B．[0,2]C．[－2,2)D．[－1,2)D　[作y＝x＋2与y＝x2＋5x＋2在同一坐标系中的图象如图，要使g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同零点，即f(x)与y＝2x有三个不同交点，观察可知，需y＝x＋2与y＝2x交于C点；y＝x2＋5x＋2与y＝2x交于A、B点；故令x2＋5x＋2＝2x得x＝－1或x＝－2，令2x＝x＋2得x＝2.∴－1≤a<2.选D.]题型2　恒成立、能成立(存在性)问题■核心知识储备·对于关于x的不等式f(x)≥g(t)，x∈D(1)不等式恒成立⇔f(x)min≥g(t)(2)不等式有解⇔存在x∈D，使得f(x)≥g(t)⇔f(x

7、)max≥g(t)(3)不等式的解集为空集⇔f(x)＜g(t)，x∈D恒成立⇔f(x)max＜g(t)．■高考考法示例·【例2】　已知函数f(x)＝lg(a－ax－x2)(1)若f(x)的定义域A≠∅，试求实数a的取值范围．(2)若f(x)在(2,3)上有意义，试求实数a的取值范围．(3)若f(x)＞0的解集为(2,3)，试求实数a的值．[思路点拨]　(1)→→(2)→7(3)→→→[解]　(1)能成立问题f(x)的定义域非空，即存在实数x，使a－ax－x2＞0成立，则φ(x)＝a－ax－x2的最大值大