高中数学第7章解析几何初步7.2.4.2直线的点斜式方程学案湘教版必修3

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1、第2课时　直线的点斜式方程[学习目标]1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．[知识链接]下列说法中，①若两条不重合的直线平行，则它们的斜率相等；②若两直线的斜率相等，则两直线平行；③若两直线垂直，则其斜率之积为－1；④若两直线的斜率之积为－1，则它们互相垂直．正确的有________．答案　④[预习导引]1．直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)斜率存在的直线2.直线l在坐标轴上的截距(1)直

2、线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b．(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a．3．直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距by＝kx＋b斜率存在的直线10要点一　直线的点斜式方程例1　求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点．解　(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，(2)∵与x轴平行的直线，其斜率k＝0，∴由直线方程的

3、点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．规律方法　(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．跟踪演练1　(1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为_______

4、_．答案　(1)x＋y－1＝0　(2)x＋4y－6＝0解析　(1)k＝tan135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0.要点二　直线的斜截式方程例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程．10(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解　(1

5、)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－.由斜截式可得方程为y＝－x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝.∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.规律方法　1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝x－3”．2．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．跟踪演练2　写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是

6、60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.解　(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan60°＝，所求直线的方程为y＝x＋5.(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan30°＝，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.要点三　直线过定点问题例3　求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．证明　法一　直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．10法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(

7、x＋y－1)＝0.令解得∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．规律方法　本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现了代数方法处理恒成立问题的基本思想．跟踪演练3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．(1)证明　直线方程变形为y－＝a，它表示经过点A，斜率为a的直线．∵点A在第一象限，∴直线l必过第一象限．(2)解　如图所示