数学日记(玩出来的美丽)

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1、玩出来的美丽——两圆内切时小圆内点的轨迹探究温州二十中冯腾达陈缘朱展波李怌强一、玩具介绍你玩过这种玩具吗？暑假里，老师给了我们一副玩具，让我们玩玩看，能玩出什么花样来。玩具由两部分组成，一部分是由一个形似兔子，中间是空心的大园，圆周上均匀的分布着齿的大齿轮；另一部分是四个大小不同的小圆，圆周上也均匀的分布着齿的小齿轮组成的（如图）。不同的小齿轮用不同的点绕着大齿轮能画出形状不同的类似于花瓣的图形，我们对此产生了浓厚的兴趣，从而开始了我们的探究之旅。二、玩的过程拿到玩具我就迫不及待的开始玩了。我们拿着笔把四个小圆的图案都画了，画出了很多美丽的图案。以四个小

2、圆进行的分类。小圆名称图案在A点画在B点画在C点画1号“大”2号“白”3号“半圆”4号“兔子”7在画的过程中我们发现，每个圆画出的图案是不一样的，而且每个圆的每个不同的点所画出的图案也是不一样的。比如1号“大”字圆画出的都是五个花瓣的。2号“白”字圆画出的最先是三个花瓣的。3号圆画出的是8个花瓣的，“兔子”圆画出的是16个花瓣的。随着点到圆心的距离由近到远的不同，形成的花瓣由胖到瘦。在3号和4号圆中的镂空处画圆还能画出扭动的图案。真是太奇妙了，这种结果引发了我们更多的思考，更多的探究。我们准备一探究竟。三、探究过程问题一：这个数学玩具有没有数学原理？以下

3、是我们通过实物画出的图案经过一系列的尝试，在反复比较几组不同的图形后，发现画出的都是有规律的弧线，所以我们猜测图形是否与圆或别的曲线有关？探究一：画图过程的数学原理分析在白纸上画图形时我们发现，画点的运动轨迹与图形存在一定关系并且有一定规律，而且不同半径的圆画出的图形也是不同的。越靠近小圆板的中心，画出的图形越接近于圆。点的位置离中心相同时，画出的图形也相同。我们可以把用玩具画出的图形，抽象出来看成是两圆内切并随之运动的过程中，小圆内一点的运动轨迹。探究二：利用几何画板对玩具进行建模因为在实际操作中，我们只能得到一些很简单的结论，为了深入探究，我们决定利

4、用几何画板制作图形形成的模型如图，⊙C和⊙A内切于点B，点E为⊙C内一点，两园相互通过齿轮滚动的过程转化为切点B绕⊙A滚动的过程，笔的画动转化为点D绕⊙C滚动带动点E的移动。几何画板制作出的模型使整个图案形成的过程变的很直观明了。我们反复的观看图像形成的过程，发现点D在运动的同时，带动E点，使E点画出不同的轨迹。但是，我们发现建立的模型所画出的图形是和实际画出来的图形大相径庭的。当我们使两动点逆向转动后，得出的图形和画出的图形在弧线上比较相似。如果我们将两个圆的半径比改成接近于齿轮比的数值，会出现和实际画出的图形几乎一模一样的图形。以下是我们通过几何画板

5、做出的几种图形和实际画出的图形的对照。笔画7几何画板画由此可见用这样的数学模型是可以解释这个玩具的。问题二：图案形成会与哪些因素有关？探究一：图案的形成和大小圆半径有关吗？玩具中不同的齿轮画出的图形不同，所以我们想图案的形成是否会和齿轮有些关系？齿轮的多少直接影响到了圆周的大小，也就是半径和图形的关系。以下是大圆不同小圆的齿轮数。不同的圆大圆小圆（“大”）小圆（“白”）小圆（兔子）小圆（蝴蝶）齿轮数133809110885图案探究大圆与小圆的半径比与图形的关系。经过在几何画板上多次的探究与总结，我们初步得出以下结论。因为实际情况中，小圆绕大圆与点绕小圆的

6、速度比1：1，所以我们在探究时把速度定为1：1。R1065432r111111花瓣个数1176543图像从表格可以得出R：r为整数时，凸出与凹陷的个数满足（+1）的关系。探究二：图案的形成与两动点速度比有关吗？以上研究的是大圆与小圆的半径比与图形的关系。现在增加一个变量：小圆绕大圆旋转与点绕小圆圆心旋转的速度比。R：r(逆向)6:15:14:13:1速度比1：1花瓣数7654图案花瓣数1311977速度比1：2图案速度比1：3花瓣数19161310图案由表二得当速度为1：n时，花瓣数=nR＋1探究三：当半径比为非最简整数仍比存在以上结论吗？这时我们又提出

7、了疑问：以上都是最简整数比，若它为小数比时，那又会怎样呢？于是我们选取了几组凌乱的数据进行试验，是否仍会有以上的结论。R：r(逆向)6.5:14.5:2.73.4:15:3.5速度比1：1花瓣数1582217图案速度比1：2花瓣数14133927图案速度比1：3花瓣数4155637图案从表格上看，似乎与先前的结论不符，那么我们以上得出的结论是否是不正确的呢？为了方便计算，我们把小数比化成最简整数比。当把这些数据化成最简整数比时，我们发觉这个比值和速度比存在一定的关联。=速度比为1：1时，花瓣数=15；速度比为1：2时，花瓣数=14；速度比为1：3时，花瓣

8、数=41；=速度比为1：1时，花瓣数=8；速度比为1：2时，花瓣数=13；速度比