高考数学导数讲义

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1、导数的定义、运算和运用（一）考向一：定义（平均变化率瞬时变化率，适当补充极限定义）【例】函数在闭区间内的平均变化率为A.B.C.D.【解析】∵f（1+△x）=2（1+△x）2+1=2（△x）2+4△x+3，f（1）=2，∴该函数在区间[1，1+△x]上的平均变化率为【例】若，则（）A．B．C．D．【解析】。故选D。【练1】若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【练2】若，则（）A．B．C．D．【解析1】根据导数的定义知===-1【解析2】考向二：导数几何意义（在/过某点切线）【例】曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．58【解析】∵，∴，由点斜式知切线方程为：，即.

2、【例】过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即【例】设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)58【练1】已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为.【练2】曲线的一条切

3、线平行于直线，则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是（）A．B．C．D．【练3】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【解析1】将求导得，设切点为，的方程为，因为直线l过点，所以.又，所以.所以切线方程为.【解析2】设切点，则，于是，因为切线平行于直线，所以，即.则，切线方程为：或分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为或【解析3】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得58，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.考向三：常用函数导数与导数的四则运算【例】函数的导数是（）A.B.C.D.【解析】所以【例】若，则

4、等于（）A.－2B.－4C.2D.0【解析】∵，∴，∴，∴，∴【练1】已知函数，则()A．-1B．-3C.2D．-2【练2】已知函数则（）A.B.C.D.58【练3】设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于（）A.B.C.D.【练4】等比数列中，，函数，则A.B.C.D.【解析1】根据题意，由于函数【解析2】注意到是常数,所以,令得【解析3】由曲线在点处的切线的斜率为;又直线的斜率为,由它们垂直得【解析4】因为,所以.考向四：导数运用：函数图像【例】函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是()xyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x)58【解析】先根据导函数f'（x）

5、的图象得到f'（x）的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项．由于原函数都是递减区间可知导数都小于零，故排除A,B,C,只能选D.【例】已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如右图所示.当时，函数的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】根据导函数图象，知是函数的1极小值点，函数的大致图象如图所示，由于，，所以的零点个数为4个【练1】定义在R上的函数满足,为的导函数，已知的图象如右图所示，若两个正数满足,则的取值范围是（）A．（-∞,-3）B．（-∞,）∪（3,+∞）C．D．58【练2】在同意直角坐标系中，函数的图像不可能的是

6、（）【练3】已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是．【解析1】由导数图像可知，函数减，函数增，，即，即,等价于，如图：表示可行域内的点到连线的斜率的取值范围,所以取值范围为【解析2】当时，两函数图像为D所示，当时，由得：或，的对称轴为.当时，由知B不对.当时，由知A,C正确.【解析3】=ax2+ax-2a=a(x2+x-2)=a(x+2)(x-1)，显然a≠0，①：若a<0,则f(x)在()，(1,+58)上单调递减，在(-2,1)上单调递增，因此若要使f(x)图像过四个象限，需；②：若a>0,则f(x)在()，(1,+)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，

7、因此若要使f(x)图像过四个象限，需，综上，a的取值范围是()．单调性极值最值零点【例】函数的单调递减区间为（）A．B.C.D.【解析】根据题意，对于函数，由于（x>0），可知，当y’<0时，则可知0