planck黑体辐射公式的推导

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1、Planck和Rayleigh-Jeans黑体辐射公式的推导Madeby0310340陶波0310351郑启飞0310337盛海翔黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L的正方形谐振腔。如图示:则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程：（1）用分离变量法，令则（1）式可分解为三个方程：其中得（1）式的驻波解为：由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L上的边界条件及可得：，，（其中,,满足关

2、系）则（j表示第j个本征态）的绝对值为：换成第j个本征态的频率得：当时，和可视为连续变化，不必取分立值，即有：（2）（2）式表明在整数n空间一组整数即对应一个本征模的频率。因此，频率区间内的本征模数，在数值上等于整数n空间内数值半径由范围内球壳体积的八分之一，即：（V为腔的体积）又因为每一个频率为的单色平面波还存在着两个独立的相互垂直的偏振态，则频率间隔内的本征模数为：设表示温度为T，频率为（Reply：是指某一个特定频率）的本征振动的平均能量，为相应的能量密度，则振动频率在到之间的能量为：（3）

3、本征振动是简谐振动，由三维谐振子的能量本征值：（n=0，1，2…）系统处于热平衡状态时，处于各本征能量的谐振子分布遵从麦克斯韦-波尔兹曼分布律：即：所以：（4）若令，则（4）式可改写为：由所以：（不是kT）代入（3）式得：此即为Planck黑体辐射公式。若按经典理论，由热力学与统计物理的能量均分定理可知平均能量为：则:此即为Rayleigh-Jeans黑体辐射公式。两公式的曲线与实验曲线的符合情况如图: