第二章 初等数学模型

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1、第三章初等数学模型所谓初等数学模型主要是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，而不是高等的。在解决实际问题的过程中，往往主要是是看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法，对于数学建模也是这样。本章介绍了量纲分析法、比例与函数建模法，并给出了相应的一些模型。第一节量纲分析法量纲分析提出于20世纪初，是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。它是在经验和实验的基础上,利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。1.1量纲齐次原则许多

2、物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度，质量和时间的量纲作为基本量纲，记为；而速度的量纲可表示为.在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N，称为基本量纲。任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，量纲齐次性原则用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系。

3、先看一个具体的例子，再给出。1.2量纲分析的一般方法例1（单摆运动）质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。解：在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式　　　　　　　　　　　　　　---------------（1.1）其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1.1）式的量纲表达式有整理得：　--------------（1.2）由量纲齐次原则应有　　　　　　---------------（1.3）解得：代入（3．1）

4、得-------（1.4）（1.4）式与单摆的周期公式是一致的1.3BuckinghamPi定理下面我们给出用于量纲分析建模的BuckinghamPi定理，定理（BuckinghamPi定理）设n个物理量之间存在一个函数关系　　--------------（1.5）为基本量纲，。的量纲可表示为　　　　矩阵称为量纲矩阵，若的秩则（1.5）式与下式等价，其中F为一个未定的函数关系，为无量纲量，且可表示为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-----------(1.6)而为线性齐次方程组的基本解向量.利

5、用Pi定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量。第二节航船的阻力长吃水深度的船以速度航行，若不考虑风的影响，航船受到的阻力除依赖于船的诸变量以外，还与水的参数——密度P，粘性系数,以及重力加速度g有关。我们利用pi定理分析f和上述物理之间的关系1．航船问题中涉及的物理量及其量纲为我们要寻求的关系式为-----------（2.1）这些物理量中涉及到的基本量纲为L、M、T2．写出量纲距阵3．解齐次线性方程组,可得个基本解向量由（1.6）式，可给出4个无量量纲-------------（2.2）

6、由Pi定理，（2.1）等价于下列方程---------------（2.3）这里是未定的函数由（2.2），（2.2）可得阻力f的显式表达式，---------------（2.4）其中是由（2.3）可得到的未知的函数关系,在力学上,称为Froude数，记为Fr;称为Reynold数，记为Re,因此（2.4）又可写为--------------（2.5）4.下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。设:分别表示模型和原型中的各物理量，由(2.5)有当无量纲量----------------（2.6）成立

7、时,可得--------------------（2.7）则此时由模型船的阻力，及其它的；可确定原型船的阻力。下面,我们讨论一下(2.6)成立的条件,如果在实验中采用跟实际同样的水质,则又故可得：------------------（2.8）要使得(2.8)成立,必有；也即模型船与原型船一样大，这显然排除了物理模拟的可行性。若考虑选用不同的水质，仍设则(2.6)式化为---------------------（2.7）由(2.7)可得，若按1：20的比例，，显然无法找到如此小的粘性系数的液体。实际上的一种近

8、似处理方法是，在一定条件下Re数的影响很小，这样可近似得到，类似地分析，只要即有----------------（2.8）由（2.8）式就容易确定原型船的阻力第三节抛射问题下面我们通过一个例子，介绍如何使用无量纲化方法简化模型。抛射问题：在某星球表面以初速度竖直向上发射火箭，记星球半径为，星球表面重力加速度为，忽略阻力，讨论发射高度随时间T的变化规律。模型建立：设轴竖直向上，时，火箭和星球质量分别记为和，由牛顿第