精校解析Word版---高考专题32 均值不等式的灵活应用-名师揭秘高考数学（文）命题热点

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1、高考专题32均值不等式的灵活应用一．【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力．二．【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值

2、域、最值及单调性判定问题.类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题.类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.类型4：探究数列的递增(递减)性，前n项和的最值等问题.3．基本不等式(1)a2＋b2≥2ab；变式：≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；(2)如果a≥0，b≥0，则≥；变式：ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．4．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最大值；(2)若a>0，b>0且ab＝S

3、(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最小值2.三．题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的

4、重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用

5、怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.四．典例分析（一）基本不等式比较大小例1．若，，则下列结论：①，②③④，其中正确的个数是　（）A．1B．2C．3D．4【答案】D练习1．若m，n，a，b，c，d均为正数，，则p，q的大小关系为(　　)A．p≥qB．p≤qC．p>qD．不确定【答案】B【解析】q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．练习2．若，，，，则A．B

6、．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，且，∴，即．故选B．练习3．设f(x)＝ex,0pD．p＝r>q【答案】C【解析】由题意得，∵，∴，又函数为增函数，∴．故选C．（二）利用基本不等式证明例2.已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】，，，上面三式相加，得：，所以，.练习1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题D．否命题为

7、假命题，逆否命题为真命题【答案】A【解析】原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．练习2．已知，，为不全相等的正实数，且.求证：.【答案】见解析练习3．下列条件：①，②，③，，④，，其中能使成立的条件的序号是________．【答案】①③④【解析】要使，只需成立，即，不为且同号即可，故①③④能使成立．.故答案为：①③④.（三）由基本不等式求积的最值例3.4．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.

8、【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，即，解得，又由，且，联立方程组，解得.（2）由余弦定理，得因为，所以，又因为，所以三角形的面积为，此时练习1．已知，且，则的最大