选考部分(理)12-2坐标系与参数方程

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1、重点难点重点：①坐标系的概念②不同坐标系中坐标的互化，直线与圆的极坐标方程③参数方程的概念；直线、圆、圆锥曲线的参数方程．难点：①直线与圆的极坐标方程②参数方程中参数的几何意义；解决实际问题时参数的选择．2．极坐标系(1)极坐标系的概念①在平面内取一个定点O为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标．如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R.在极坐标(ρ，

2、θ)中，通常限定ρ≥0，当ρ＝0时，与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标时，在平面上就唯一确定了一个点；但是给定平面上的一个点，它可以有无穷多个极坐标，一般地(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z与(ρ，θ)代表同一个点，有时为了使极坐标与平面上的点(极点除外)建立一一对应关系，规定ρ≥0,0≤θ<2π.如果允许ρ<0，则当ρ<0时，点P(ρ，θ)的找法是：先找到点P′(

3、ρ

4、，θ)，再找P′关于极点的对称点即为点P，因此(ρ，θ)与(－ρ，θ＋π)表示同一个点，除事先说明的情况下，一般都是ρ≥0.(3)求曲线的极坐标方程f(ρ，θ)＝0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤

5、完全相同．特别注意的是求极坐标方程时，常常要解一个三角形．3．柱坐标系(1)如图，空间直角坐标系O－xyz中，设P是空间任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．则点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞

6、OP

7、＝r，OP与Oz

8、轴正向所夹的角为φ，设P在xOy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，则点P用有序数组(r，θ，φ)表示．把空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r，θ，φ)叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.注：教材上使用的球坐标是(r，θ，φ)与一般用法不吻合．通用记法为(r，φ，θ)，θ也不是“夹角”，这可能是教材编排的失误．这时，参数t的几何意义是：以直线l上点M(x0，y0)为起点，任意一点N(x，y)为终点的有向线段的数量为MN且

9、t

10、＝

11、MN

12、.(2)

13、化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．误区警示1．在极坐标系中，如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R；点的极坐标不惟一，若规定ρ≥0,0≤θ<2π，则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外)；[例2]⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解析：(1)当以极点为原点、极轴为x轴正半轴时，有x＝

14、ρcosθ，y＝ρsinθ，∴由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理得⊙O2的直角坐标方程x2＋y2＋4y＝0.(2010·广东理)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析：由ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1得2sinθcosθ＝－1，∴sin2θ＝－1，∵0≤θ<2π且sinθ>0，cosθ<0，答案：(x＋1)2＋y2＝2解析：由题意知圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，直线方程为y＝1，故交点为(－1,1)，(1,

15、1)．答案：(－1,1)，(1,1)答案：B答案：B点评：求解参数方程表示的圆的有关问题，可以直接从参数方程找出圆心，半径，结合其它条件讨论，也可先化为直角坐标方程．答案：B分析：由于直线l过椭圆内点A，交椭圆于M、N两点，且

16、AM

17、＝

18、AN

19、，∴A为MN中点，故对直线l的点角式参数方程，应有t1＝－t2，从而求得l的方程，要使△MNQ面积最大，因为MN的长度一定，只需点Q到直线MN距离最大，可用参数法及点到直线距离公式转化为三角函数极值．[例7]如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，

20、PQ与PB相交于P点，试