大学高数期末考试题与答案

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1、--WORD格式--可编辑--第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），1．求极限lim1cosxx2x．3x0sinx解：1cosxxxx211coxs1cosxx2x212limlimlimsin3xx3x3x0x0x0xln1cosxxln1coxs1cosxln1cosxe21e21xln22limlimlimlimx31cosxx3x2x0x0x0x0xln2limsinx1．x01cosx2x4与x23x2．设x0时，fx是等价无穷小，ftdt与Axk等价无穷小，求常数k与A．20解：3x3xftdt由于当x0时，ft

2、dt与Axk等价无穷小，所以lim0k1．而0x0Ax3x21x31ftdtf3x22------WORD格式--可编辑--33x2f3x233x2x3x31lim0limlimlimlimAxkx0x0Akxk1x02Akxk1x06Akxk1x06Akxk1x32所以，lim11．因此，k1,A1．x06Akxk163x2axbdx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件．2．如果不定积分x11x2------WORD格式--可编辑--解：------WORD格式--可编辑--x2axb化为部分分式，有将21x2x1x2axbABCxD，x121x2x1x121x2因此不

3、定积分x2axbdx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x12x21AC0．即x2axbBDB1x2Dx122222．1x2x11x2x1x11x所以，有x2axbB1x2Dx12BDx22DxBD．比较上式两端的系数，有1BD,a2D,bBD．所以，得b1．525．计算定积分min1,x2dx．0解：min1,x2x2x211x211x12x1x2x22x．31x355212213所以，min1,x2dx1dx2xdxx2dx．001285．设曲线C的极坐标方程为rasin3，求曲线C的全长．3解：曲线rasin3一周的定义域为03，即03．因此曲线C的全长为33

4、22333srrd26a2422a------WORD格式--可编辑--．asinsincosdasind00333032------WORD格式--可编辑--二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），6．求出函数fxsinxlim2n的所有间断点，并指出这些间断点的类型．n12x解：sinxx121sinxx122fxlim2n．11n12xx220x12因此x111是函数fx与x22的间断点．2limfxlim00，limfxlimsinx1，因此x1x的第一类可是函数f1x1x112x22x22去型间断点．limfxlimsinx1，limfxlim001是函数

5、fx的第一类可去型，因此x1x1x1x12x2222间断点．7．设是函数fxarcsinx在区间0,b上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限lim．b0b解：fxarcsixn在区间0,b上应用Lagrange中值定理，知存在0,b，使得arcsinbarcsin01b0．12------WORD格式--可编辑--b2所以，21．因此，arcsinbb22122arcsinblimlimarcsbinbb22lim2b0b0bb0b2arcsbin------WORD格式--可编辑--令tarcsinb，则有2limt22limt22limsintsin

6、tb0b2t0t2sin2tt0t4lim2tsin2tlim22cos2t1lim1cos2t1lim2sin2t1t04t3t012t26t0t26t02t3所以，lim1．b0b31x18．设fxey2ydy，求fxdx．00解：111fxdxxfxfxdxx0001x在方程fxey2ydy中，令x1，得0110f1ey2ydyey2ydy0．00------WORD格式--可编辑--再在方程1因此，1xfxe1x2fxey2ydy两端对x求导，得，0111fxdxxfxxfxdxxfxdx0------WORD格式--可编辑--00011111x2x2ex2xedxe

7、xedxe00201e1．2------WORD格式--可编辑--9．研究方程exax2a0在区间,内实根的个数．解：设函数fxax2ex1，fx2axexax2exax2xex．------WORD格式--可编辑--令fx0，得函数fx的驻点x10,x22．由于a0，所以limfxlimax2ex1，xx------WORD格式--可编辑--limfxlim2ex1alimx21alim2x1alim211．axexexexxxxxx因此，得函数fx的性态x,000,222,fx00fx