2.1等差数列 (2)

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1、一、填空题1．已知等差数列{an}的通项公式是an＝3n，则其公差是．【解析】　an－an－1＝3n－3(n－1)＝3.【答案】　32．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列为(填序号)．(1)是公差为2的等差数列；(2)是公差为5的等差数列；(3)是首项为5的等差数列；(4)是公差为n的等差数列．【解析】　∵an＝2n＋5，∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－2n－5＝2.又a1＝2×1＋5＝7，故(1)正确．【答案】　(1)3．等差数列3,7,11，…的第4项是．【解析】　由题意可知7－3＝a4－11，∴a4＝15.【答案】　154．已知数列{an}是首项为

2、1，公差为3的等差数列，若an＝2017，则项的序号n等于.【解析】　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d得2017＝1＋(n－1)·3，解得n＝673.【答案】　6735．已知数列{an}为等差数列a3＝，a7＝－，则a15＝.【解析】　法一　由得解得a1＝，d＝－.∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.法二　由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－.∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.【答案】　－6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是．【解析】　设an＝－24＋(n－1)d，由解得

3、】　7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按图221的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖块．图221【解析】　显然构成一个等差数列，且首项a1＝6，公差d＝4，∴第n个图案中有an＝6＋4(n－1)＝4n＋2块白色地面砖．【答案】　4n＋28．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们的公共项的个数有．【解析】　设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1＝11.∵数列5,8,11…与3,7,11…的公差分别为3和4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又∵5,8,11，…与3

4、,7,11…的第100项分别为302和399，∴an＝12n－1≤302，即n≤25.25.又n∈N*，∴两数列有25个相同的项．【答案】　25二、解答题9．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．【解】　由题意知∴解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式an＝2n.10．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】　(1)证明：∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝，又∵b1＝＝，∴数列{

5、bn}是首项为，公差为的等差数列．(2)由(1)可知bn＝＋(n－1)×＝，又由bn＝可知，an＝2＋＝2＋.[能力提升]1．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(填序号)．①{an＋3}；②；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤.【解析】　∵{an}成等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．∴{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}均是等差数列，{a}，未必是等差数列．【答案】　①③④2．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝.【解析】　由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公

6、式＝n，所以an＝n2.【答案】　n23．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝.【解析】　因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.【答案】　194．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.(

7、1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.【解】　(1)数列是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.