走向IMO数学奥林匹克试题集锦（2013）

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1、前!!言本书以$%&'年国家集训队的测试选拔题为主体&搜集了$%&$年/月至$%&'年0月间国内主要的数学竞赛及$%&'年国际数学奥林匹克试题和解答&并且附上了$%&'年美国和俄罗斯数学奥林匹克的试题与解答&$%&'年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克的试题与解答&这些试题大都是从事数学奥林匹克教学和研究的专家们的精心创作&其中的一些解答源自国家集训队和国家队队员&他们的一些巧思妙解为本书增色不少!在过去的一年中&我国中学生数学竞赛的主要赛事有$%&$年全国高中数学联赛!中国数学会普及工作委员会主办"($%&'年中国数学奥林匹克

2、!-"#"!中国数学奥林匹克委员会主办"&以及由中国数学奥林匹克委员会主办的第&&届中国女子数学奥林匹克!-,"#"等!在$%&'年国家集训队和国家队集训期间&得到了裘宗沪(王杰(潘承彪等专家们的鼓励(支持和指导!另外在国家集训队集训期间&除了国家集训队教练组外&天津师范大学李建泉教授(江西科技师范大学陶平生教授为学生做了专题讲座&提供了一些测验题!在国家队集训期间&除了国家队教练组外&潘承彪教授为学生做了精彩的报告&裘宗沪教授对学生进行了赛前指导&再次对他们表示衷心的感谢!本书倾注了许多专家和学者的心血&书中有许多他们

3、的创造性的工作!本书可供数学爱好者(参加数学竞赛的广大中学生(从事数学竞赛教学的教练员(开设数学选修课的教师参考!$%&$年全国高中数学联赛及加试由吴建平整理&$%&'年中国数学奥林匹克由陈永高整理&$%&$年第&&届中国女子数学奥林匹克由朱华伟整理&$%&$年中国西部数学邀请赛由冯志刚整理&$%&$年中国东南地区数学奥林匹克由李胜宏整理&$%&'国家集训队测试题由熊斌整理&$%&'年中国国家队选拔考试题由瞿振华整理&$%&'年第12届国际数学奥林匹克由熊斌和李秋生整理!$%&'年俄罗斯数学奥林匹克由李伟固整理&$%&'

4、年美国数学奥林匹克由张思汇整理&$%&'年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克由冯志刚整理!囿于作者的水平&加上编写时间仓促&不足和错误在所难免&请广大读者朋友批评指正&不吝施教!!"#$年&()中国国家集训队教练组!"#$年*月目!!录""#!"#!年全国高中数学联赛"#$!"#!年全国高中数学联赛加试"#%!"#$年中国数学奥林匹克!第!%届全国中学生数学冬令营""$&!"#!年第##届中国女子数学奥林匹克"'(!"#!年中国西部数学邀请赛")*!"#!年第&届中国东南地区数学奥林匹克"(#!"#$年中国国家集训队测试#"&!

5、"#$年中国国家队选拔考试#&&!"#$年美国数学奥林匹克#$+!"#$年俄罗斯数学奥林匹克#))!"#$年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克#+$!"#$年国际数学奥林匹克!第(*届!"#"!"#!年全国高中数学联赛受中国数学会委托!!"#!年全国高中数学联赛由陕西省数学会承办!中国数学会普及工作委员会和陕西省数学会负责命题工作!!"#!年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部!"""年"全日制普通高级中学数学教学大纲#中所规定的教学要求和内容!但在方法上有所提高!主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况!以及综合和灵活运

6、用的能力!全卷包括$道填空题和%道解答题!答卷时间为$"分钟!满分#!"分!全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨!在知识方面有所扩展!适当增加一些竞赛教学大纲的内容!全卷包括&道解答题!其中一道平面几何题!答卷时间为#'"分钟!试卷满分为#$"分!全国高中数学联赛于#"月#&日进行!在各赛区初评的基础上!复评工作于##月##日至#&日在西安进行!中国数学会和陕西省数学会的相关负责人参加!经过复评!确定了$!"#!年全国高中数学联赛赛区一等奖名单%!%#个赛区共有#!$#名同学获得赛区一等奖!确定了$!"#%

7、年冬令营营员名单%!有%#!名同学取得了参加!"#%年沈阳冬令营的资格!!"#!年全国高中数学联赛!!!"一!填空题"每小题!分#共"#分$!$设"是函数#$%&!%!""的图象上任意一点#过%点"分别向直线#$%和#轴作垂线#垂足分别为'$(#则#"#""'%"(的值是$$$$!!解法一$设"!%"#%"("#则直线"'的方程为%"!#)!%"&"$)!%)%""#%"即#$)%&!%"&!!%"&#$%###由%!得'!%"&#%"&"!#$)%&!%"&#%"%"'%"!#"###"又(!"#%"("#所以"')!

8、#*"#"()!*%"#""!%"%"%"#"#"#故"'%"()%!*%"")*#!%"解法二!$如图#设"!%"#%"("%"!%"!""#则点"到直线%*#)"和#轴的距离分别为!%")!%"&"%"槡!#*"'*$$槡!%"!第#题"*"(*$%"!!!#!走向!"#因为+$'$"$(四点共圆!+为坐标原点"