空间向量的基本定理

《空间向量的基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.13.1.2空间向量的基本定理理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何知识点一知识点二考点三考点四3．1.2空间向量的基本定理空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在唯一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能推出a＝λb.1．共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使．a＝xb2．共面向量定理在一次消

2、防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”、“东400”“5楼”三个量确定，设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：这三个向量能做为该空间的一组基底吗？提示：能．问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.空间向量分解定理如果三个向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数

3、组x，y，z，使．其中，表达式叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合，叫做空间的一个基底，记作，a，b，c都叫做基向量．不共面p＝xa＋yb＋zcxa＋yb＋zca，b，c{a，b，c}1．共面向量是指这些向量的基线平行于同一平面，即共面向量的基线可能相交、平行或异面．2．共面向量定理其实质就是平面向量基本定理，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式．3．利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等．4．由空间向量分解定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，因此，空间基底有无数个．但基底确定后，空间向量的分

4、解式是唯一的．[一点通]判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则．结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．答案：A答案：C[例3]若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨]判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[一点通]判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．5．设x＝a＋b，y

5、＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有________个．答案：3[思路点拨]画出图形，利用相关的运算法则把所求向量逐步分解，直到用基底表示为止．[一点通]用基底表示向量时，(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量共始点，这样能方便地表示其他向量．1．三个向量不共面是三个向量构成空

6、间一个基底的充要条件．2．用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的．3．利用向量法解决点线共面问题关键是熟练地进行向量的表示，恰当利用共面向量定理．点击下图进入“应用创新演练”