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1、探究数列通项公式的求解贵州省黔西第一中学(551500)宋洪祥联系电话：13595704247数列是高考中的重点内容么一，每年的高考题都会考察到，小题一•般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式一通项公式，在求数列的通项公式是数列考题中的常见形式,是利用数列知识考杳数字运用能力的常见题型，在各类选拔性考题中经常出现，为了帮助同学们寧握这类知识，本文给出了求数列通项公式的常用方法，供参考。%1.观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：(1)9,99,999,9999,…2,Q…1017解：(1)变形为:•:通项公式为：2r…10*-1,102-b103-1,104-1,(2
2、)变形为:2222+1?3+丄一,32+14242+1・・・通项公式为：an=n+——n+1・・・通项公式为：“市观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。二、运用等差数列和等比数列知识若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。1711例2：若等差数列｛%｝满足bn=(—)5,且bi+b2+b3=一,bl•b2•b3=-,求通项288公式an.解析：由bi•b2•b3=-=>ai+a2+a3=3=>a2=l,根据题设口J设等差数列｛a」的8公差为d,则由b1+b2+b3=—,A(-)(-)l+(-)l+d=—=>d=2或d二-2,・・・82228an=a2+(n-2)d=
3、2n-l或an=5-2n0当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、累加法和累乘法若已知数列的递推公式为6Z/J+I=a“+f(n)hj采用累加法，数列的递推公式为%+产/(吋・旬2则采用累乘法。例3：己知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。解易知=2/?-1,・.•a2-ci｝-3,一5=5,«4=7,各式相加得心一山=3+5+7++・・・〜=n2+5(ne/V)例4：在数列｛an｝中，a｛=1,(n+1)•an^=n•an,求的表达式。an解：由(n+l)•d“+]=n・得丄丄=ann+1aaa2a3an-}234
4、nn四、公式法若已知数列的前〃项和S”与〜的关系，求数列｛〜｝的通项心可用公式S
5、n=[Sn-Sn-》2求解。例5：已知下列两数列｛%｝的前n项和Sn的公式，求｛色｝的通项公式。(1)Sn=n3—n+2°(2)sn=2n~—5解：(1)d]=S]=1—1+2Q“=S”—S”_](/?>2)=(h3—zi+2)—[(/?—I)3—(n—1)+2]=3m2-3n[2(归)rh于坷不适合于此等式。・・・。」.为所求数列的通项公式。[3n2-3n(n>2)(2)ax=sx=—3,（In2一5）-[2（〃一1尸-5]=4h-2由于舛不适合于此等式。-34n-2（h=1）（«>2）注意要先分n=l和
6、n>2两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。五、待定系数法例6：设数列匕｝的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若cl2,c,=4,c3=7,Ci=12,求通项公式Cn解：设c”=G+（/?一l）d+hqn~la+d+bq=4a+2d+bq2=7a+3d+bq?=12=>cn=n+2/,_I点评：用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列｛%｝为等差数列：贝an=bn+c>sn=bn2+cn（b、c为常数），若数列｛qj为等比数列，则an=Aqn-{,sn=Aqn-A六、辅助数列法有些数列本身并不是等差或筹比数列，但可以经过适当的变形，构造出一
7、个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。型如an+i=pan+q（p,q为常数且pHO,pHl,qHO）可用转化为等比数列等.可转化为an+i+k=p（an+k）,得｛an+k｝是以a】+k为首项,p为公比的等比数列。例7：己知数｛%｝的递推关系为an+i=2an+1,且州=1求通项％。解：•an+=2d”+1・・d“+]+1=2（d”+1）令%=陽+1则辅助数列｛仇｝是公比为2的等比数列:.bn=b｝qn~[即an+l=⑷+1）广】=X:.an=2W-1七、倒数法数列有形如o的关系，可在等式两边同乘以一^,先求出anan-丄,再求得例8.设数列｛atl｝满足4=2,
8、a“+]=""(neN),求an.S+3解:原条件变形为仏+]q+3q+
9、=〜.两边同乘以一-—，得1+3・丄=丄①•色+1①£+13“-1•・•3(—+
10、)=—+
11、,.-.—+
12、an2an+i2atl22a，t一2x3”t_1总而言Z,等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，口然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本
