Savitzky-Golay平滑滤波器的最小二乘拟合原理综述

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1、万方数据DoI：10．3969／j．i8sn．100l-3824．2011．01．017SaVitzky-Golay平滑滤波器的最小二乘拟合原理综述蔡天净1”，唐瀚1(1．重庆邮电大学通信与信息工程学院．重庆4∞065；2．中南大学数学科学与计算技术学院。湖南长沙4100r75)摘要：介绍了Sa“tzky—Golay滤波器的推导方法——多项式的最小二乘拟合法及其推导过程，以及如何由Savitzky和Gol且y提出的多项式卷积计算方法进行最小二秉拟合计算。对savitzky-Gohy滤波器的二维算法进行了简单介绍，对其一维和二维的MATLAB代码进行了分析处理。并将s吖itzky—Go蛔滤

2、波器同其他低通滤波器进行了简单比较。简要说明了其优势以及一些应用方向。关键词：嘶tzl【y·GoLBy滤波器；数据平滑；多项式最小二来拟舍；卷积O引言1Sa订tzky-Golay滤波器算法及推导Savitzky．Golay滤波器是一种特殊的低通滤波器，又称Savitzy．Golay平滑器。低通滤波器的明显用途是平滑噪声数据，噪声是用来描述所观察现象提取信息中附加的不易区别的任意错误，而数据平滑能消除所有带有较大误差障碍的数据点，或者从图形中作出初步而又粗糙的简单参数估算。Savitzky-Gday滤波器最初由SavitzkyA和G杌llIyM于1964年提出，被广泛地运用于数据流平滑除噪

3、，是一种在时域内基于多项式，通过移动窗口利用最小二乘法进行最佳拟合的方法。这是一种直接处理来自时间域内数据平滑问题的方法，而不是像通常的滤波器那样先在频域中定义特性后再转换到时间域。通过这种方法，计算机的唯一功能就是充当一个平滑噪声起伏的滤波器并尽量保证原始数据的不失真。在这个过程中，计算机只需运行相对小型的程序，减少了对电脑内存和数据处理能力的要求，因此这种方法相对来说更加简单、快速，而且相对于其他类似的平均方法而言，这种方法更能保留相对极大值、极小值和宽度等分布特性⋯。收稿日期：2010羽-191．1最小二乘法拟合与sa、ri乜时-Golay算法的导出在平面坐标系中，用一条曲线来拟合

4、一组数据，不妨假设这条曲线为y=口0+口l戈+口2菇2+口3茗3+口。茗4，当每一个点的横坐标代入这个曲线方程后，所得的值与该点的纵坐标之差的平方之和最小时，这条曲线的拟合度最高，从而可以确定所有的系数口。(i=0，l，2，3，4)。如图l所示，有9个数据点被在左边的括号包住，如果这些点均在一条曲线附近，则能近似地被所示的能描述这条曲线的方程所表示，然后就可以根据数值计算方法用具体的过程把所有的系数戈(i)确定出来。将中间点的横坐标代回到方程中，得到图中圆圈所表示的点，用这个点代替原来的点。这个过程中，获得的该点值的大小是在最小二乘法和这样一组观察数据点基础上的最佳拟合。这一过程可以对有

5、9个数据点的每一组数重复进行，每进行一次就去掉最左边的一个点然后加上最右边的一个点，一直到最右边的区域都确定出来。通常来说，每一组9个点确定的曲线系数都不同【2】。现讨论由Savtzky和Golay导出的方法。设一组数据为髫(i)，i的取值为2m+1个连续的整值，即f=一m，⋯，O，⋯，m。现构造一个n阶多项式(厅≤2m+1)来拟合这一组数据一63—万方数据图19点表示的滑动平均多项式Z=∑6以产=6神+6。Ii+6J

6、2i2+⋯6。P(1)^=O设点的误差平方和是E=∑M一茗(i)]2=∑[∑6以r一髫(i)]2为便E最小，ⅡJ令E对各系数的导效力u，即蓑_o，r-0’l’2，⋯，n得

7、薏=彘{i奎【弘扎圳，】2)=2i封毫¨‘叫吣=O，r=0，l，⋯，n即令∑6以∑产”‘=Oi=一m(2)(3)(4)=∑茗(彬(5)f=∑茗(i)，1。s¨=如”Jb。”■bE=∑hs¨(6)给定需要拟合的单边点数m，多项式的阶次n及待拟合的数据茹(一m)，⋯，互(0)，⋯，茗(m)，则可求出E，将&+，代入式C=∑6。&+，中，系数％，6扪⋯，6。就可求出，因此多项式Z可以确定。由于r+矗是奇数时有S“=∑p=o(7)所以，只有当r+I

8、}为偶数时，才能存在f=∑h&⋯r=0，1，2⋯n的表达形式‘∞1。总的来说，当n和s均为偶数或者n和s均为奇数时有6。=6(州)，(8)在实际应用

9、中，往往并不需要把系数6柚，6扪⋯6。全部求出，分析可得Zli：o26加2口，10誓IdZdi2警l=啪。=口。u‘li=0即S16。=口。。Savitzky和Golay使用了一种简单的多项式卷积方法，并制定了卷积系数表心】，通过使用卷积系数表中的卷积系数来计算出系数％，6扪⋯6。的大小，方便而且迅速。例如，用1个四次多项式Z=6棚+6。li+6砣产+6以i3+6科，来拟合9个点，先使用表求6砷。如表l所示，找到表l中9个点对应的一