(16-20讲)广猛说题(中考数学压轴题破解之道)

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1、第16讲最值之“胡不归模型”知识必备一、正弦的定义如图16-1-1，在Rt△ABC中，有sinA=,sinB=,从而有=c∙sinA,b=c∙sinB.二、垂线段最短直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称“垂线段最短”.方法提炼一、古老传说从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后.便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图16-2-1),而忽视了走折线路径A→D→B虽路程多但速度快的实际情况.当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭

2、.邻居劝慰小伙子时告诉他,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?...”这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到家?倘若可以,他应该选择一条怎样的路线?这就是风靡千百年的“胡不归问题”,一直到十七世纪中叶,才由法国著名科学家费尔马揭开了它的面纱.二、模型建立用现代的数学语言表达出来就是:已知在驿道和砂地上行走的速度分别为V1和V2,在AC上找一定点D,使从A→D→B的行走时间最短.ADDB简析第一步(问题数学化):设总时间为t,则t=+,这里V1>V2,且均为常数,即只要使t最小；V1V2这是一个系数不为1的最值问题；1111V2第二步(提取“大系教”

3、):由V1>V2知<,提取得t=,(∙AD+DB),注意V1与V2均为常数,V1V2V2V2V1V2故只要使∙AD+DB最小；V1第三步(构造三角函数):如图16-2-2,过定点A在驿道的下方作射线AE,使它们的夹角为V2V2α，且sinα=<1,作DG⊥AE于点G，则DG=AD∙sinα=∙AD；V1V11V2故∙AD+DB=DG+DB，转化为DG+DB最小；V1第四步（垂线段最短）：注意AE是一条定射线，再作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点D',则点D'即为所要寻找的点，此时DG+DB取最小值为BH；1V2DG+DBBHAB∙sin∠ㄠ㠳因此t=∙AD+

4、DB=≥=，期中V2、AB及∠ㄠh均为常值，即所需时间的V2V1V2V2V2AB∙sin∠ㄠ㠳最小值为.V2至此，“胡不归”模型得到完美解决.如果这个小伙子选择了先沿着驿道快马加鞭走到点D'位置，然后再直冲家门，或许他还有希望见到自己的老父亲最后一面，多么凄美的故事啊！反思“胡不归”问题是型如“∙AD+∙DB”的“两定一动型”最值问题,其中A、B为定点,D为动点,、为正的常数；解决的关键是“两次系数化为1”:①若、均不为1,则提取较大系数，将其中一个系数先化为1；②借助正弦的定义,构造锐角α,将另一个系数也化为1；最终只需利用“垂线段最短”原理即可

5、解决问题；特别提醒：这里应该过定直线(驿道)上的定点(A)在该直线的另一侧构造所需的锐角α,如本例中过定V2点A向驿道的下方构造锐角α,使sinα=<1V1三、举例说明如图16-2-3，已知D为射线AB上一动点，∠ㄠ䁞=ꀀ香,ㄠ䁞=2ꀀ，当AD=___________,时，AD+2CD取最小值____________.1简析如图16-2-4，作∠ㄠh=ꀀ香，作DG⊥AE于点G，则AD+2CD=2AD+CD=2(DG+CD)；2再作CH⊥AE于点H，交AB于点D'，则AD+2CD=2DG+CD≥2CH，又∠䁞ㄠ㠳=耀香,故CH=AC∙sin耀香=ꀀ，且

6、∠ACD'=ꀀ香，易得AD'=2；即当AD=AD'=2时，AD+2CD取最小值为耀实战分析例1如图16-3-1,已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km,B、C间的距离为100km,从A到C必须先坐船到BC上的某一点D,航速为25km/h，再乘汽车到C,车速为50km/h,记∠BDA=θ.2问当θ为多少时,由A到C所用的时间t最少?ADDC11简析由题知t=+=（AD+DC）；255香25211如图16-3-2,作∠BCE=ꀀ香,作DG⊥CE于点G,则DC=DG,故t=AD+DG;225再作AH⊥CE于点H,交BC于点D',则点D'即为要找的点,此时θ=

7、∠CD'H=耀香，t最小.例2如图16-3-3，在平面直角坐标系中，AB=AC，A（0,22）,C(1,0),D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为_______________.ADDC1AD简析设点P在CD上的速度为υ，在AD上的速度为3υ，则总时间t=+=（+DC）；ꀀυυυꀀ1AD如图16-3-4，作DG⊥AB于点G，由题易知sin∠ㄠh=sin∠䁞ㄠh=，则DG=AD∙sin∠ㄠh=，ꀀꀀDG+DC故t=；υ'DG+DCCH'再作CH⊥AB于点H,

8、交AO于点