简单的三角恒等变换(基础)

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1、简单的三角恒等变换（基础）【学习目标】1.能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；2.掌握公式应用的常规思路和基本技巧；3.了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；4.通过运川公式进行简单的恒等变换，进一步捉高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的口觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5.通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力.【要点梳理】要点一：升（降）幕缩（扩）角公式升幕公式：1+cos2q=2cos2a,1-

2、cos2g=2sin2a降幕公式：COS26Z=1+COS26Z,2要点诠释：・2l-cos2«siira=2利用二倍介公式的等价变形：1--cosa=2sin‘兰，1+cosq=2cos2兰进行“升、降幕”22变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幕”变换，逆用上述公式即为“降幕”变换.要点二：辅助角公式1.形如«sinx+/?cosx的三角函数式的变形：dsin兀+bcosx、cosx令cos(p=/,sin0=i»asinx+bcosx=yja2+Z?2(sinxcos(p+cosxsincp)=y/a2

3、+h2sin（x+（p）（其中©角所在象限由a,b的符号确定，©角的值由tan—确定，或由asin（p=/&和cos/=/。共b0确定.）y/a2+b2Ja2+h2yja2+b2sin(x+©)(或2.辅助角公式在解题中的应用通过应用公式asinx+bcosxasinx+bcosx=a2+b2cos（a-（p））,将形如asinjc+bcosx（a,b不同时为零）收缩为一个三角两数yja2+b2sin(x+^?)(或yja2+b~cos(cr~(p)这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个

4、三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等.【典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明皿*、工亠asinal-cos«例1.求证：tan—==21+cosqsincrOf【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子屮Q与一之间的关系发现，利川二倍角公式2即可证明.【证明】方法一:sinal+coscr小・&a.a2sin—cos—sin-22=_1a=tan—1-COS6Zsina2sin2cos2-cos2aacos22・asm2acos2a=tan—2.a.afa方法二:sa1+cosasin—sin—-2cos-

5、tan—=——=——'厶2aara~cos—cos—・2cos222•asin—a7tan—=二2&cos—2.a.asin—-2sin—y221一cosqQc・&sinacos—-2sin—22【总结升华】代数式变换往往着眼于式了结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三如函数式不仅会冇结构形式方面的羌异，而且还会有所包含的角，以及这些旳的三和函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.举一反三:【变式1】求证:【证明】

6、since=2tan-2l+tan*2-2cosa=l-tan2-2l+tan2-2tana=2tan-21-tan2c・aa2sin—cos-2tan-sin6z=2sin-cos-22sin2£+cos22l+tan2-22&・2acosa=cos_sin—=22oa・2&i。acos~sin—1-tan22二1cos—+sirr—1+tan"2222tan守1-tan2sinatanacosa.aa2sin—cos—22例2.求证：(1)COSQCOS0=—[cOS(Q+0)+COS(Q-0)]cos兀+cosy=2c

7、os已COS0⑵22【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边.（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令q+0-x.a-P-y即可得证.【证明】(1)cos(<7+0)=cosacos0-sinasin0①又•・•cos(q-0)=cosacos0+sinqsin0②.•・①+②得cosacos0=*[cos(a+0)+cos(a一0)]结论得证.(2)•.•cos(a+0)=cosQcos0-sinasin0①乂Tcos(6Z-/?)=cosacos0

8、+sinasin0②①+②得cosacos0=—[cos(6Z+0)+cos(a-/?)]令口+0=兀,4_0=歹，则a=/；）/「打）X+yx-y1r-1/.coscos=—cosx+cosy222•a——cosa=sin—.，」小x+vx-ycosx+cosy=2cos—亍cos—结