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1、递推数列的特征方程法探究数列问题在高考中有着非常重要的地位，其中数列求通项公式，通常作为各省市的高考压轴题出现。而递推数列的通项公式求解，往往令师生最为头疼。那么，什么是递推数列，包含哪些类型•一般而言，数列求通项公式，都有哪些方法策略？下面，我対这几方面做些研究、探索不足之处，敬请同行批评指正。一、递推数列的分类递推数列，顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。用通俗的一句话来解释“递推”就是：知道他的过去，就知道他的现在•知道他的过去和现在，就知道他的将来。根据递推式不同，一般可将递推数列分为以下4类：■二、递推数列的特征方程法引理(-)一阶线性递推数列引理1•已知数列
2、｛an｝满足al=b,an+1二pan+q(pH0且pHl,p,q是常数)，称方程x二px+q为数列bn｝的特征方程，设特征方程的根为xO,则①当xO=al时,数列｛an｝为常数列；②当xOHal时,数列｛an-xO｝是以p(pHO)为公比的等比数列.简证：设特征方程x二px+q,得根为xO=B,又an+1二pan+q(1)xO二pxO+q(2),由(1)-(2)得，an+1-xO二p(an-xO),若al=xO=H,则al=a2=a3==an=H,即数列｛an｝为常数列；若alHxO,则・二■二p(非零常数)，即数列｛an-xO｝是以p为公比的等比数列，证毕。(-)二阶线性
3、递推数列引理2.已知数列｛an｝满足an+2=pan+l+qan(p^l,p,q是常数),al=a,a2=b,称方程x2二px+q为数列｛an｝的特征方程，设特征方程的根为xl,x20则①当xlHx2时，数列｛an｝的通项为an=clxln+c2x2n,其中cl,c2由初始值决定；②当xl=x2时,数列｛an｝的通项为an=(cl+c2n)xln,其中cl,c2由初始值决定。简证：设特征方程x2二px+q有两个根为xl,x2,则xl+x2二pxl?x2二-q,故由an+2=pan+l+qan得，an+2=(xl+x2)an+1-(xl?x2)an,即an+2~x1an+1=x
4、2(an+1~x1an)o所以，an-xlan-l=x2(an-l-xlan-2)利用迭代得：an-xlan-l=x2(an-l-xlan-2)所以an-xlan-l=x2n-2(a2~xlal)=x22(an-2-xlan-3)■=■即■—■二■(a2-xlal)=x2n~2(a2~xlal)再次利用迭代得：■・+■(a2~xlal)二■+■(a2-xlal)+■(a2-xlal)二■+(a2~xlal)(■+■+■++■)若xlHx2,则■二■+(a2-xlal)■整理得，an=Hxln+Hx2n设cl=H,c2-U,则an=clxln+c2x2no若xl=x2,则由■二
5、■+(a2-xlal)(■+■+■+……+■)得，an=[(■+xlal~a2)+(a2-xlal)njxln设cl二・+xl且1-且2,c2=a2-xlal,an=(cl+c2n)xln,证毕。(三)一次分式递推数列引理3•已知数列｛an｝满足an+l=H(p,q,r,hWR,且phHqr,rHO,alH-■),则称方程x二■为数列｛an｝的特征方程，设特征方程的根为xl,x2o则①当xlHx2且xlHal时,则数列｛■｝为等比数列•②当xl=x2时,若al=xl,则数列｛an｝为常数列;若alHxl，则数列｛■｝为等差数列。简证：设特征方程x二■有两个根为xl,x2,特征
6、方程整理为rx2+(h-p)x-q二0,故xl+x2二・xlx2二-■当xlHx2且xlHal时，不妨设■二(英中k为待定系数)由■二k・，解得：an+l=・与an+1二■比较可得：xl~kx2=p,(k~l)xlx2=q,l~k=r,kxl-x2=h上面四个等式再结合xl+x2二・xlx2二-■进行验证，得出结论是正确的。所以■二k■是存在的，并口k二1-C所以，当xlHx2且xlHal时，则数列｛■｝为等比数列得证。同理易证当xl=x2时，若al=xl,则数列｛an｝为常数列；若alHxl,则数列｛■｝为等差数列.(四)二元一阶线性递推数列引理4.已知数列｛an｝,｛bn
7、｝满足an+1二pan+qbnbn+1二ran+hbn,则数列｛an｝,｛bn｝的通项公式求解，可转化为二阶线性递推数列来进行通项公式的求解。简证：由T*an+2=pan+1+qbn+l=pan+l+q(ran+hbn)二pan+l+q(ran+hH)二(p+h)an+1+(qr—hp)an同理，bn+2二(p+h)bn+l+(qr-hp)bn所以，二元一阶线性递推数列可转化为二阶线性递推数列解决。三、递推数列在高考中的考查递推数列综合性试题，频繁出现在高考压轴题的位置。譬如下面几道数列高考题，可用特征
