概率论上的母函数

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1、概率论上的母函数（generatingfucnction）定义：若随机变量ξ取非负整数值，且相应的分布列为：（0，1，2）（p0，p1，p2）则pk*sk（k从0到无穷）的和为s的函数，此函数称为的母函数。特征函数(概率论)在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。用矩母函数MX(t)来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。与矩母函数不同，特征函数总是存在。如果

2、FX是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：在概率密度函数fX存在的情况下，该公式就变为：如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。R或Rn上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足fX(x)=fX(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。性質连续性勒维连续定理勒维连续定理说明，假设为一个随机变量序列，其中每一个Xn都有特征函数j

3、n，那么它依分布收敛于某个随机变量X：当如果当且j(t)在t=0处连续，j是X的特征函数。莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。反演定理在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。给定一个特征函数j，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F：一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。[1]博赫纳-辛钦定理/公理化定義博赫纳定理任意一个函数j是对应于某个概率律μ的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：1.j(t

4、)是连续的；2.j(0)=1；3.j(t)是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与j(t)>0不等价）。計算性质特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X1、X2、……、Xn是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且其中ai是常数，那么Sn的特征函数为：特别地，。这是因为：注意我们需要X和Y的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。另外一个特殊情况，是ai=1/n且Sn为样本平均值。在这个情况下，用表示平均值，我们便有：特征函数的应用由于连续定理，特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中。矩特征函数还可

5、以用来求出某个随机变量的矩。只要第n个矩存在，特征函数就可以微分n次，得到：例如，假设X具有标准柯西分布。那么。它在t=0处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到n个独立的观测的样本平均值具有特征函,利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。一个例子具有尺度参数θ和形状参数k的伽玛分布的特征函数为：现在假设我们有：且其中X和Y相

6、互独立，我们想要知道X+Y的分布是什么。X和Y特征函数分别为：,根据独立性和特征函数的基本性质，可得：这就是尺度参数为θ、形状参数为k1+k2的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论：这个结果可以推广到n个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：多元特征函数如果X是一个多元随机变量，那么它的特征函数定义为：这里的点表示向量的点积，而向量t位于X的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法，就是：例子如果X~N(0,∑)是一个平均值为零的多元高斯随机变量，那么：其中

7、Σ

8、表示正定矩阵 Σ的行列式。矩阵值随机变量如果X是一个矩阵值随机变量，

9、那么它的特征函数为：在这里，Tr(﹒)是迹函数，XT表示T与X的矩阵乘积。由于矩阵XT一定有迹，因此矩阵X必须与矩阵T的转置的大小相同；因此，如果X是m×n矩阵，那么T必须是n×m矩阵。注意乘法的顺序不重要(XT≠TX)但Tr(XT)=Tr(TX)矩阵值随机变量的例子包括威沙特分布和矩阵正态分布。相关概念相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在，但矩母函数不是这样。特征函数与傅里叶变换有密切的关系：一个概率密度函数p(x)的特征函数是p(x)的连续傅里叶变换的共轭复数（按照通常的惯例）。其中P(t)表示

10、概率密度函数p(x)的连续傅里叶变换。类似地，从jX(t)可以通过傅里叶逆变换求出p(x)：确实，即使当随机变量没有密度时，特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。