格林函数法 解的积分公式

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1、§2.4 格林函数法解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。一、泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。设u（r）和v（r）在区域T及其边界S上具有连续一阶导数，而在T中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分化成体积积分（12-1-

2、1）这叫作第一格林公式。同理，又有（12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得亦即19（12-1-3）表示沿边界S的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是（12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统一地表为（12-1-5）其中j（M）是区域边界S上的给定函数。a＝0，b≠0为第一类边界条件，a≠0，b＝0是第二类边界条件，a、b都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题

3、，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的d函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v（r，r0）表示位于r0点的单位强度的正点源在r点产生的场，即v（r，r0）应满足方程（12-1-6）现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相减，然后在区域T中求积分，得SOyzxTSer0Ke图12-1（12-1-7）应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r＝r0点，Dv19具有d函数的奇异性

4、，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T中挖去包含r0的小体积，例如半径为e的小球Ke（图12-1），Se的边界面为Se。对于剩下的体积，格林公式成立，（12-1-8）把（12-1-8）代入挖去Ke的（12-1-7），并注意r≠r0，故d（r－r0）＝0，于是（12-1-9）当，方程（12-1-6）的解v（r，r0）—→位于点r0而电量为－e0的点电荷的静电场中的电势，即－1／4p。令e→0，得（12-1-9）右边—→左边的左边的（12-1-10）这样，（12-1-7）成为（12-1-11）（12-1-11）称为泊松方程的基本积分公式。（12-1-11）将（12-1

5、-4）的解u用区域T上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？我们看到，（12-1-11）中需要同时知道u及在边界S上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只是u在边界19S上的值；在第二边值问题中，已知的只是在边界S上的值。在第三边值问题中，已知的是u和的一个线性关系在边界S上的值，三类边界条件均未同时分别给出u和的边界S上的值。因此，我们还不能直接利用（12-1-11）解决三类边值问题。其实，这里距离问题的解决已经很近了。原来，对于函数v（r，r0），我们还只考虑其满足方程（12-1-6）。如果我们对v（r，r0）提出

6、适当的边界条件，则上述困难就得以解决。对于第一边值问题，u在边界S上的值是已知的函数j（M）。如果要求v满足齐次的第一类边界条件（12-1-12）则（12-1-11）中含的一项等于零。从而不需要知道在边界S上的值。满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-12）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用G（r，r0）表示。这样，（12-1-11）式成为（12-1-13）对于第三边值问题，令v满足齐次的第三类边界条件，（12-1-14）满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-14）的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用G（r，r0）表示。以G（r，r

7、0）乘（12-1-5）式两边，得又以u乘（12-1-14），并以G代替其中的v，得19将这两式相减，得将此式代入（12-1-11），得（12-1-15）至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令G为定解问题（12-1-16）（12-1-17）的解，而由（12-1-11）得到（12-1-18）可是，定解问题（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。这在物理上是容易理解的：不妨把这个格林函数看作温度分布。泛定方程（12-1-16）右边的d函数表明在S所围区域T中有一个点热源。边界条件（12-1-17）表明边界是绝热的。点热源不停地放也热