微专题圆锥曲线几何条件的处理策略

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1、迈思教育思迥异做不同心中有数工作室微专题圆锥曲线几何条件的处理策略圆锥曲线处理心法：一、几何条件巧处理，事半功倍！二、谋定思路而后动，胸有成竹！三、代数求解不失分，稳操胜券！四、解后反思收货大，触类旁通！1.平行四边形处理策略几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横（纵）坐标差相等对角线互相平分中点重合例1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详

2、见解析；（Ⅱ）能，或．【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值．试题解析：(Ⅰ)设直线，，，．将代入得，故，．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形能为平行四边形．因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点

3、的坐标代入直线的方程得，因此．四边形专注高中数学超越人生梦想第11页/共11页2021-07-20迈思教育思迥异做不同心中有数工作室为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是．解得，．因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．2.直角三角形处理策略几何性质代数实现（1）两边垂直斜率乘积为-1，或向量数量积为0（2）勾股定理两点的距离公式（3）斜边中线性质（中线等于斜边一半）两点的距离公式例2.椭圆（）的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为，（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形

4、，求直线的斜率解析：（2）根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立消去得，令，解得。设两点的坐标分别为，，则，（1）当为直角时，所以，即，所以所以，解得（2）当或为直角时，不妨设为直角，此时，所以即①又②，将①代入②，消去得，解得或（舍去）专注高中数学超越人生梦想第11页/共11页2021-07-20迈思教育思迥异做不同心中有数工作室将代入①得，所以，经检验所得值均符合题意，综上，的值为和3.等腰三角形处理策略几何性质代数实现（1）两边相等两点的距离公式（2）两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反（3）三线合一（垂直且平分）垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式例3.在直角坐标系

5、中，已知点,为动点，且直线与直线斜率之积为，（1）求动点的轨迹方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点,若点在轴上，且，求点的纵坐标的范围解析：（1）设动点的坐标为，依题意可知整理得，所以动点的轨迹的方程为（2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为0，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入，并整理得，，设，，则，设的中点为，则，，所以，专注高中数学超越人生梦想第11页/共11页2021-07-20迈思教育思迥异做不同心中有数工作室由题意可知，又直线的垂直平分线的方程为，令解得，当时，因为，所以当时，因为，所以，综上所述，点的纵坐标的范围是.4.菱形的处理策略例4.椭圆M：

6、（）过点，且离心率为（1）求椭圆M的方程；（2）是否存在菱形，同时满足以下三个条件：①点在直线上；②点在椭圆上；③直线的斜率等于1；如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由。解析：（1）由题意得解得，；所以椭圆M的方程为（2）不存在满足题意的菱形，理由如下：假设存在满足题意的菱形，设直线的方程为，且，，线段的中点，，则由可得，由可得，又，所以，若四边形为菱形，则是的中点，点的纵坐标，专注高中数学超越人生梦想第11页/共11页2021-07-20迈思教育思迥异做不同心中有数工作室又因为点在椭圆上，所以与矛盾，故不存在满足题意的菱形。5.圆的处理策略几何性质代数实现（1）点在圆上点

7、与直径端点向量数量积为零（2）点在圆外点与直径端点向量数量积为正数（3）点在圆内点与直径端点向量数量积为负数例5.已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点，（1）求的离心率及短轴长；（2）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.（1）由得，所以的离心率为，短轴长为；（2）方法一：由题意知，设，则，因为所以，所以点不在以为直径的圆上，即不存在直线，使得点在以线段为直径的圆上。方法二、由题意可