圆与相似_解直角三角形综合题精选有答案

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1、解直1.（2012江苏镇江6分）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，，求弦AC的长。2（2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。3（2012福建福州12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂

2、足为D，AD交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若∠B＝60º，CD＝2，求AE的长．相似与圆1（2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。（1）求证：∠EAC＝∠CAB；（2）若CD＝4，AD＝8：①求O的半径；②求tan∠BAE的值。2（2012山东聊城10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说

3、明理由；（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．3.（2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．4（2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系

4、，并说明理由；（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；15.（2012湖北黄冈8分）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DB2=AB·BE.【答案】解：（1）连接OC，∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。又∵∠FEC=∠AED（对项角相等），∴∠FCE=∠AED（等量代换）。又∵DF⊥AB，∴∠OAC＋∠AED=90

5、0（直角三角形两锐角互余）。∴∠OCA＋∠FCE=900（等量代换），即∠OCF=900。∴OC⊥CF（垂直定义）。又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线（切线的定义）。（2）连接BC。∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900（直径所对圆周角是直角）。∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=900－∠ACO=∠OCF－∠ACO=∠FCE，∴∠OBC=∠FCE。又∵，∴。又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。在Rt△ABC中，∴。【考点】等腰三角形的性质，对项角的

6、性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。（2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。【答案】解：（1）连接BD，OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=B

7、D。∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。又∵DC∥AB，∴OD⊥DC，∴CD与⊙O相切。（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，则AF=AE=×10=5。∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。在Rt△AOF中，sin∠AOF=，∴sin∠ADE=sin∠AOF=。【答案】解：(1)证明：如图，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD。∴∠OCD＝90°。∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°。∴∠OCD＋∠ADC＝180°。∴AD∥OC。∴∠CAD＝∠ACO。

8、∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO。∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB。(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．又∵∠B＝60°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°。在Rt△ACD中，CD＝2，∴AC＝2CD＝4。在Rt△ABC中，AC＝4，∴AB＝＝＝8。连接OE，∵∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE，∴△AOE是等边三角形。∴AE＝OA＝AB＝4。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性