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1、点线间对称问题的探究【摘要】关于点线间的对称问题，是解析几何屮烦琐计算的开始，也是中学数学中的常见问题而且用处广泛，值得大家深思、探究.【关键词】对称点；对称轴；直线；方程解析几何中的点线间対称问题主要分为两大类，即中心对称问题和轴对称问题•屮心对称包扌舌点关于点的对称、直线关于点的对称，轴对称包括点关于线的対称、线关于线的对称.以上对称问题如何求解，我们探究如下：1•点关于点的对称问题1：求点A(a,b)关于点P(xO,yO)对称的点A•分析：运用屮点处标公式即可求得对称点Az的他标为(2x0p,2y0-b
2、)・2•线关于点的对称问题2：求直线1：ax+by+c二0关于点P(x0,yO)对称的直线1’・分析：直线关于点的对称，主要求解方法是：方法一：在已知直线上取两点，利用屮点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线的方程；方法二：由图形可知,所求直线r与已知直线1平行,设直线1‘的方程为ax+by+m二0,在直线1上任取一点，求出关于点P的对称点，再用待定系数法求岀参数m的值，也就得到了直线1’的方程，或者由点斜式得到所求直线方程.3.点关于线的対称问题3：求点A(m,n)关于直线1：ax+
3、by+c=0对称的点A'・分析：设A，(xO,yO),利用直线1是线段AA'的中垂线，列出方程组y0-nx0-m?-ab=-la(x0+m2)+by0+n2+c=0求解，可得到对称点A'(xO,yO)的坐标(其中bHO,xOHm)・4•线关于线的対称问题4：求直线11：ax+by+c=0关于直线1：Ax+By+C二0对称的直线12.分析：一般转化成点关于直线的对称来解决，有两种情况：①若直线11与直线1平行,则所求直线12与它们都平行，可转化成点关于线求对称点，再用待定系数法求解，或运用平行线间的距离问题相等
4、求解；②若直线11与直线1相交，则所求直线12必过它们的交点，再求点关于线的对称点，用待定系数法求解.弄明白以上问题，也就弄清楚高中解析几何中的点线间的对称问题，至于特殊情况下的点和直线对称问题，亦可借助于图像求解•关于其应用,我举以下两个典型案例.例1一条光线经过点A(2,3)射出，遇到直线1：x+y+1二0后被反射，经过点B(1,1),求光线的入射线和反射线所在的直线方程.解作点A关于直线1的对称点片，设A'(xO,yO),则y0-3x0-2?(-1)二-1,x0+22+y0+32+l二0,解得x0=-4
5、,y0=-3./.A'(一4,一3)・・••反射光线方程为y-1二1+31+4(x-l),即4x-5y+l二0.由x+y+1二0,4x-5y+l二0,得x二-23,y二-13・・•・入射光线与对称轴的交点为-23,-13.・••入射光线方程为y-3二3+132+23(x-2),即5x-4y+2=0.评述注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.例2在直线1：3x-y-l二0上求一点P,使得(1)点P到A(4,1)和B(3,4)距离之和最小，并求出最小值；(2)点卩到A(4,1)和。(0,4)距离之差的绝对值最大
6、，并求出最大值.解(1)设点A关于直线1的对称点片(x0,y0),则y0-1x0-4?3二T,3?x0+42-yO+12-1二0,得x二-2,y二3.・・・A‘(-2,3)・•••PA+PB二PA'+PBMA'B.连接A，B交直线1于一点，即为所求点P,如图1・・•・(PA+PB)min二A'B二(3+2)2+(4-3)2=26.此时，直线A'B的方程为y-3=4-33+2(x+2),即x-5y+17=0.由3x-y-l=0,x-5y+17二0,得x二117y二267因此PA+PB的最小值为26,点P117,
7、267.(2)山(1)知，点A(4,1)关于直线1的对称点为A7(-2,3).•••PA-PC二PA'-PCWA'C.连接A'C,并延长交直线1于一点,即为所求点P,如图2.・•・(PA-PC)max=AzC=(0+2)2+(4-3)2=5.此时，直线A'B的方程为y-3二4-30+2(x+2),即x-2y+8二0.由3x-y-l=0,x-2y+8二0,得x二2,y=5.因此PA-PB的最小值为5,点P(2,5)・评述恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.在解析几何中，可以利用对称解决光线反射问
8、题，利用对称求轨迹,利用对称求距离的最值等等，当然，其他的对称问题更值得我们去深思、探究.
