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1、点和直线的有关对称问题摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。 关键词:点；直线；中心对称；轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称 例1:求直
2、线x+y-2=0关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为: 分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲
3、线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的,曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为:f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称 例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b),线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,
4、y). ∵MA=M′A,∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线l的方程 故点M′的坐标为(-2,2) ⒉直线关于直线对称 例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程. ⑵求直线l1:2x-y+3=0关于直线l:2x-y+4=0对称的直线l2的方程. 分析:由平面几何知识知,若a、b关于直线l对称,则应具有以下性质:①当a、b相交时,则对称轴是a、b交角的平分线(且通过交点);当a、b平行时,则a、b与对称轴的距离相等.②若点A在直线a上,则
5、点A关于直线l的对称点B一定在直线b上,并且AB⊥l;AB的中点在l上. ⑴解一:由 2x+y-4=03x+4y-1=0得a与l的交点Ｅ为（３,２）则E(3,-2)一定在b上,设b的斜率为k,于是 (三)特殊的对称关系 点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b)； 点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)；点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)；点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m)；点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点为(m-b,m-a
6、).
