浅谈分类思想在几何中的应用

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1、浅谈分类思想在几何中的应用在数学屮，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查。这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略。分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能丿J是十分重耍的。正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏。分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级有序进行；(4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型。题型1.考查数学概念及定义的分类。例1已知直线AB上

2、一点C,且有CA二3AB,则线段CA与线段CBZ比为3：2或3：4。练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的屮点，线段BC=3cm，点N为线段BC的屮点，求线段MN的长。解析：(1)点C在线段AB±；(2)点。在线段AB的延长线上。例2.下列说法正确的是()。A.两条线段相交有一且只有一个交点。B.如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。C两条射线不平行就相交。D.不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。题型2：考查字母的取值情况或范围的分类。规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定

3、理的使用条件及范围。例题1•如图1边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0,2）一次函数y二x+t的图像1随t的不同取值变化时，位于1的右下方由1和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）。（1）当t取何值时，S二3?（2）在平面直角坐标系下（图2）,画出S与t的函数图像。点拔：设1与正方形ABCD的交点为M,N,易知ADNIN是等腰RtA,只有当MD=2时，SAMDN=1,那么S二SL1ABCD-SE1MDN二3,此时求得t=4-2,第（2）问屮，随着t的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论t在不同取值时S的表达式，进而作出图像。解：（1）设1与正方形ABCD的交

4、点为M,N,Tl的解析式y二x+t,在x轴,y轴上所截线段相等。•••△DMN为等腰RtADMN・.・S=3,・・・SADMN=SABCD-S=2X2-3=1乂VSADMN=MD?ND=ND2MD=ND=2,・•・ON二0D-DM二4-2,即D点的坐标为（0,4-2）・・・t二4-2,即当t=4-2时，S=3o・•・当0Wt〈2时，S二BM?BN=t2当2Wt〈4时，S=SABCD-SADMN=-（t~4）2+4当t$4时，S二4o根据以上解析式，作图如图（2）o变式思考：如图所示，在平行四边形ABCD中，AD二4cm,ZA二60。,BD丄AD,—动点P从A出发，以每秒lcn

5、i的速度沿A-B-C的路线匀速运动，过点P作直线PM,使PM丄AD。（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E,求AAPE的面积。（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A-B-C的路线运动，且在AB上以每秒lcni的速度匀速运动，在BC上以每秒2cni的速度匀速运动，过Q作直线QN,使QN//PM。设点Q运动的时间为t秒（OWtW10）,直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm20%1求S关于t的函数关系式。%1（附加题）求S的最大值。易误：讨论变量t的取值范

6、韦

7、,是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析。题型3：与角

8、有关的分类讨论思想的应用一一角的一边不确定性引发讨论。例3•在同一平面上,ZA0B二70。,ZB0C二30。,射线0M平分ZAOB,0N平分ZB0C,求ZM0N的大小。（20。或50。）练习:已知ZAOB二60。,过0作一条射线0C,射线0E平分ZA0C,射线0D平分ZB0C,求ZD0E的大小。（1）射线0C在ZA0B内；（2）射线0C在ZA0B外。这两种情况下，都有ZD0E二二=30°o小结：（对分类讨论结论的反思）一一为什么结论相同？虽然ZA0C的大小不确定，但是所求的ZD0E与ZA0C的大小无关。我们虽然分了两类,但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节一一总

9、结的重要性。由以上的儿个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步学握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。