结构动力学方程的显式与隐式数值计算

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1、第40卷第1期2010年1月航空计算技术AeronauticalComputingTechniqueV01．40No．1Jan．2010结构动力学方程的显式与隐式数值计算李初晔，王增新(北京航空制造工程研究所，北京100024)摘要：bkJ匣论上详细推导了动力学方程的显式隐式时间积分数值计算方法，针对经典中心差分格式在求解阻尼结构计算效率降低的问题，研究提出了一种新的显式积分格式，理论证明该数值积分格式能够处理各种复杂阻尼状态而不降低计算效率。对于不同的时间步长通过设定调节加速度参数，能得到比经典显式计算格式和NEWMARK逐步时间积分更

2、高的精度，最后通过数值算例对三种计算格式的理论分析进行了验证。关键词：中心差分格式；数值积分；隐式算法；显式算法；逐步时间积分中图分类号：0242．2文献标识码：A文章编号：1671．654X(2010)01．0058．05引言动力学方程的求解效率、计算精度、收敛性、稳定性是设计有限元分析软件考虑的主要问题，如果不考虑材料、状态和几何非线性，动力学方程从形式上可看成是一组二阶线性常微分方程组，解决这类线性问题从理论和实践上都非常成熟，代表性的求解方法是龙格一库塔法。但当结构模型中包含材料非线性、瑞利届阻尼、接触和大变形效应时，质量、阻尼和

3、刚度矩阵皆为非线性矩阵，常规方法解决这类强非线性问题包含大量的矩阵求逆运算，计算效率很低，甚至运算难以执行。近年来发展了一些行之有效的解决方法，其中显式积分格式对于强载荷条件下的非线性结构动力分析最为有效。本文从理论上详细推导了动力学方程的显式隐式时问积分格式，针对经典显式积分格式在求解含阻尼结构时效率降低的问题，提出了一种全新的显式积分格式，理论证明该数值积分格式能够处理各种复杂的阻尼状态而不降低计算效率。1动力学方程与阻尼经积分变换得到的动力学方程为：M簟(t)+C童(t)+Kx(t)=F(t)(1)l(t)，j(t)，x(t)为节点

4、加速度、速度、位移向量，M，c，眉，F(t)为质量、阻尼、刚度矩阵和载荷向量，由各自单元矩阵和向量集成。M=∑膨=∑(∥7NdVK=yr：ylB1DBdV—i_√—：-一J。C=∑C。=∑J∥’Ⅳdy+∑№B’DBdV=C_

5、I，+CKF=∑P=∑J，Ⅳwy+∑f。N7TdS阻尼矩阵中，一部分比例于单元质量矩C村=J&M，为P介质阻尼或粘滞阻尼，它是假定阻尼力正比于运动速度推导而得。另一部分阻尼比例于刚度矩阵，G=肛。置，为结构阻尼以。为材料内摩擦系数，它是假定阻尼力正比于应变速度的阻尼，反映由于材料内摩擦引起的能量耗散。因此，通常将实际

6、结构的阻尼矩阵简化为M和K的线性组合：C=aM+ilK(2)其中a，p为材料的Rayleigh阻尼系数。阻尼比孝可通过Rayleigh阻尼系数得到：亭=瓦Ot+譬(3)式中∞为系统的固有圆频率。反之，若知道材料的阻尼比可得到Q，口系数。因为有两个未知数，因此需要知道∞。，∞：两个主要频率。孝=芸+譬。．a』如2f2五+丁收稿日期：2009—08—12作者简介：李初哗(1966一)，男，山东潍坊人，高级工程师，研究方向为大型结构的有限元分析和优化计算。2010年1月李初哗等：结构动力学方程的显式与隐式数值计算·59·得：a：缉a2_亡∞1+

7、∞2。卢=而2芦(4)2动力方程的显式算法——中心差分法假定初始条件t=0时‘的位移、速度、加速度已知，将时间域0～r等分为凡个时间间隔△￡(At=T／n)，假定0，At，2At，⋯，t时刻的位移速度加速度已经求得，通过差分形式表达t+出时刻的解，描述如图l。z—A￡￡￡+At图1中心差分法计算设时刻t—At，t和t+血处，位移分别为X。一山，J。，X。+血，速度分别为j。缸，童。，j；+m，加速度分别为i。一血，l。，l；+缸。利用泰勒展式，将工。缸在时刻点t展成泰勒多项式，并取有限项作为X。+缸的近似值：h山=”腑。+譬≯+争fP)(

8、5)式中工：∞为X；的p次微分。因为动力学控制方程(1)最高到二次微分项，因此将上式右边取到誓。项得到：k山：‘+Atx。+竽i。(6)对(6)式求导得：j。+AI=童。+i，·△t(7)在[t—At，t]区间，j。可以近似表达为：童t。壶(‘一Xt_山)(8)在[f，t+血]区间，童。血可以近似表达为：jt+缸5壶(k缸_)(9)将(8)，(9)代人(7)得到中间点加速度与相邻位移之间的关系：it2壶(主吣一jt)2寿(扎山-2x,蝇一△I)(10)为第一加速度方程。将(8)式的主。代入(6)得到中间点加速度与相邻位移之间的另一关系：i

9、t5寿(k血一2xr+乳山)(11)为第二加速度方程，可见(10)和(11)是倍数关系。根据上面的推导过程，更普遍的是将加速度写为如下的形式：叠t2壶(扎血-2x,q—AI)(12)这里A为调