抛物线动点问题探究

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1、抛物线动点问题探究抛物线动点问题是最近儿年中考的一个热点题型，中考常将抛物线的动点问题作为压轴题出现。所谓“抛物线动点问题”，是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在抛物线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，结合已经学过的平面图形的性质，再根据已知条件找出动点的运动规律进行求解。既然是动点，能否用运动的观点来解决呢？下面用几个例子来探究怎样用运动的观点解决此类问题。例1：如图1,抛物线y二-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点。(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上的第二象限上是否存在一点P

2、,使APBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及APBC的面积最大值；若没有，请说明理由。分析：(1)由A、B点坐标可求出抛物线解析式：y二-x2-2x+3・(2)由题知点B(-3,0),点C(0,3),点P是第二象限的抛物线上的点，△PBC的面积最大值，也就是取决于动点P的位置。若过点P做x轴的垂线交BC于点G,交x轴于H,则可将APBC分成两个同底的三角形，分别为APGB与APGC,同时这两个三角形的高可以平移到x轴上，则SAPBC=SAPGB+SAPGC=■PGXBG+■PGX()G=■PG(BG+OG)=BPGX0B.题中OB的长度是确定的，也就转化成求

3、PG的最大值。而PG的长度可由P点的纵坐标和G点的纵坐标的差求得，可设P点的横坐标是x,则P(x,-x2-2x+3),G点的横坐标也是x,而直线BC解析式可由点B、C求得y=x+3・所以，G(x,x+3),则PG二(-x2-2x+3)-(x+3)二-x2-3x二-(x+・)2+・，可见当P(■,■),APBC的面积最大。此方法适用于在抛物线上寻找一点与已知点构成的三角形面积最大。另解:(篇幅所限,略)。例2：如图2,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。(1)求A、B两点的坐标及直线AC

4、的函数表达式；(2)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。分析：(1)令y二0,得出A(-1,0),)B(3,0),C(2,-3),直线AC：y二-x-1・(2)此问可以这样分类考虑，以A、C、F、G四点为顶点的四边形为平行四边形，在图中己经存在一条线段AC,分别以AC为对角线和一条边來考虑。当AC为对角线时，如图3,此时CG//x轴，由平行四边形对边平行且相等，G点的纵坐标与C点的纵坐标相同，都是-3,点G1坐标为(0,-3)。可见，G点向

5、右平移了两个单位得到C点，同样A点向右平移两个单位得到F1点,即Fl(1,0)o当AC为平行四边形的一条边时候，如图4,AC的对边FG可看作山AC平移得到，C点对应点为F.由于C点纵坐标是-3,F点纵坐标是0,所以F点由C向上平移3个单位，同样G点由A点向上平移3个单位，A点纵坐标是0,则G点的纵坐标为3。所以，当y二3时，抛物线y二x2-2x-3对应的点可求为G2(1+・，3),G3(1-・)。当G2(1+・，3)是由A(-1,0)向右平移2+■个单位得到，同样C点向右平移2+■个单位得到2+(2+・)二4+・，F2(4+・，0)；当G3(1-B,3)是由A(

6、-1,0)向左平移-1-(1-■)二-2+■个单位得到，同样C点向左平移-2+■得到2-(-2+・)=4-■,F3(4-・)・如图5,可将AC向下平移,此时CG//x轴，C、G关于对称轴x=l对称，则G(0,-3),即C(2,-3)点向左平移两个单位，同样A(-1,0)向左平移两个单位得到F4(-3,0).【解题策略】动点产生的平行四边形问题：一般己知两个点，其他两点具有一定的条件限制，判断是否存在满足该条件并能够成平行四边形的点；或已知三个点，问是否存在第四个点使这四个点所构成的四边形为平行四边形。此时，要先利用平行四边形的性质确定点的存在性，然后分情况讨论，

7、再观察计算平移的方向和茨离。由此例题可见，画图这一步很重要，因为随着点(线)的移动，与Z相关的一些图形肯定随着改变，而且点(线)平移到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变，同时可以考虑到多种情况，不容易漏解。所以，一定要画图，不能凭空想象。(辽宁省瓦房店市第三初级屮学)