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1、湖南科技大学高等代数绪论论文题目：高等代数屮的逆向问题学生姓名：敖晶指导老师：蔡永裕学院：数学与计算科学学院专业班级：10级数教1班完成时间：2014年1月摘要1关键词1引言1预备知识1高等代数中的逆向问题2（一）已知逆矩阵等求原矩阵2（二）已知矩阵的特征值或特征向量求原矩阵3参考文献5摘要：学习了一年的高等代数，我发现，在高等代数的学习中，我们要掌握的不仅仅是那些正面问题，还要了解一些问题的逆向问题，就如同我们看事物要从正反两面來讨论一般.木次论文，我将就我所发现的关于矩阵、矩阵的特征值和特征向量等方面的逆向问题进行讨论，同时也会给出具体例子加以说
2、明.关键词：逆向问题；矩阵；特征值；特征向量引言高等代数作为我们数学专业学生的必修专业基础课，具有十分重大的意义，它对提高学生的抽彖思维能力、逻辑推理能力、训练创新思维和培养创新能力方而具冇重要的促进作用.然而，一门学科的学习，不仅仅是单纯的掌握其中的正面问题，对反面问题的讨论探究也是具有十分重大的意义的，所以，对于高等代数的学习，我们在掌握知识的正面问题之余还要了解一些问题的逆向问题.这能够帮助我们更好的理解知识点概念和培养思维能力.近些年来，针对逆向问题的研究也一直受到人们的关注.下面，我将就高等代数中部分问题的逆向问题展开研究，并给岀具体例子加
3、以说明。1预备知识定义1・1⑻A]2人21°人22°VanlA/A”2定理1・1设矩阵4%a2l山2a22an2a2n为A的伴随矩阵.a]2a22a2n屮元索勺的代数余子式，称矩阵可逆，则下面结论成立定理1・2在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并口基础解系所含解的个数等于n-r,这里厂表示系数矩阵的秩.⑷內+如兀2+•••+%£=b、定理1.3如果"是方程组勺內+如七+…+勺后"2(1)色內+匕2吃+・・・+。沁“二伏的一个特解，那么方称组(1)的一个解卩都可以表示成(2)卩=%+〃其屮77是(1)的齐次方程组的一个解.因此，对于方程组
4、(1)的任一个特解齐，当〃取遍(1)的齐次方程组的全部解时,(2)就给出(1)的全部解.设V是数域F上的向量空间，cigEndV・定义1・2设2()gF,若存在V屮一个非零向量(X,使得(T(a)=,则称入)是。的一个特征值,0(是。的属于特征值九。的一个特征向量.显然，若0C是。的属于特征值九。的一个特征向量，则对于V/ceF,都有(y(ka)=k(j(a)=kA{}a=入)伙a)•因此，任一非零向量£a(£HO)都是属于入)的特征向量.2高等代数中的一些逆向问题(1)已知矩阵中的人7或人：求&如(i)已知A"求A呦.思路根据(A~lyl=A・22
5、3例2.1.1已知川二1-10,求A・-121_223100_j001-4-3「解1-10010—>0101-5-3-121001_001-1641-4-3于是A二1-5-3・-164■■(i)已知求A・思路因为犷丄*",所以若求出同，则可求出于是可求出A・由[A*卜
6、A厂(因为若卜
7、工0,即A可逆,SA4*=
8、A
9、EW
10、A*
11、
12、A
13、=
14、A
15、从而
16、"卜矿;若I牛0,则卜店矿=0・)可求出国，再求屮,进而得A・(2)给出矩阵A的有关特征值或特征向量的某些信息，求A.在高等代数教材屮已知矩阵A,求A的特征值，特征向量的问题是大家熟知的问题，而已知特征值
17、与特征向量求矩阵的问题，往往被人们忽略了.对这一问题根据矩阵的对角化大体口J分以下三类.⑴设A的〃个特征值为&,人，…，盒，它们对应的特征向量分别为二，…，并若6，驾，・・・，佥线性相关，此时满足条件的矩阵A不惟一，可以通过解线性方程组的方法来求矩阵4・例2.4.1已知3阶方阵A的3个特征值1,1,-1,它们对应的特征向量为$=(2,0,2)丁，§2=(1,0,1)丁，§3=(0，一1，1)丁・求矩阵A・(axa2①、解设A二b、b2b3,贝I]18、‘％b、C
19、'‘202、101a2b2c2=101<0-11丿卫3h3S’20、•求仏q10r6-51)解令P=(x^x2，兀3)=124,则P七—68—2<139丿12-31,//00]
