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1、概率基础知识一、事件与概率(-)随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。从这个定义中可看出，随机现象有两个特点：(1)随机现象的结果至少有两个；(2)至于哪一个出现，人们事先并不知道。抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也并不知道。(例1.2-1］随机现象的例子：(D-天内进入某超市的顾客数；(2)一顾客在超市中购买的商品数；(3)-顾客在超市排队等候付款的时间；(4)—颗麦穗上长着的麦粒个数；(5)新产品在未来市场的占
2、有率；(6)-台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间；(7)加工机械轴的直径尺寸；(8)一罐午餐肉的重量。随机现象在质量管理中到处可见。认识一个随机现象首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是指今后的抽样单元，故又称样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Qo“抛一枚硬币”的样本空间0二｛正面，反面｝；“掷一颗骰子”的样本空间Q二｛1,2,3,4,5,6｝；“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间Q二｛0,1,2,•••｝；“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间Q二“测量某物理量的误差”的样本空间Q二｛x：-
3、8〈x〈g｝o(-)随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示，如在掷一颗骰子时，“出现奇数点”是—个事件，它由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为A,则有A二{1,3,5}o1.随机事件的特征从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征：(1)任一事件A是相应样本空间Q中的一个子集。在概率论中常用一个长方形示意样本空间Q，用其中一个圆(或其他几何图形)示意事件A,见1.2-1,这类图形称为维恩(Venn)图。(2)事件A发生当且仅当A中某一样本点发生，若记3”s是Q中的两个样本点(见图1.21):当5发生，且5WA(表示
4、5在A中)，则事件A发生；当32发生，且(表示S不在A中)，则事件A不发生。(3)事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明确无误的。(4)任一样本空间Q都有一个最大子集，这个最大子集就是Q,它对应的事件称为必然事件，仍用Q表示。如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件。(5)任一样本空间Q都有一个最小子集，这个最小子集就是空集,它对应的事件称为不可能事件，记为4。如掷一颗骰子，“出现7点”就是一个不可能事件。［例1.2-2］若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间Q由下列四个样本点组成。Q二｛(0,0),(0,
5、1),(1,0),(1,1)｝其中样本点(0,1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。A二“至少有一件合格品”二｛(0,0),(0,1),(1,0)｝；B二“至少有一件不合格品”二｛(0,1),(1,0),(1,1)｝C二“恰好有一件合格品”二｛(0,1)(1,0)｝；Q二“至多有两件合格品”二｛(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)｝；e二“有三件不合格品”。现在我们转入考察“检查三件产品”这个随机现象，它的样本空间Q含有2匚8个样本点。Q二｛(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1
6、,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)｝下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。A二“至少有一件合格品”二｛Q中剔去(1,1,1)的其余7个样本点｝;B二“至少有一件不合格品”二｛Q中剔去(0,0,0)的其余7个样本点｝;CF"恰有一件不合格品”二｛(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)｝；C2二“恰有两件不合格品―｛(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)｝；c3=“全是不合格品”二｛(1,1,1)｝；C。二“没有一件是不合格品”二｛(0,0,0)｝；2•随机事件之间的关系实际中，在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有
7、下列三种关系。(1)包含:在一个随机现象中有两个事件A与B,若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A,记为AOp,或口,这时事件A的发生必导致事件B发生，如图1.2-2所示。如掷一颗骰子，事件A二“出现4点”必导致事件B二“出现偶数点”的发生，故ADp。显然，对任一事件A,有Q口匚
8、4)。(1)互不相容:在一个随机现象中有两个事件A与B,若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生，如图1・2-3所示，如在电视机寿命试验里，“电视
