概率与概率分布单元基础知识总结

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1、第六章概率与概率分布*【学习目的与要求】通过本章学习，要求了解在深刻理解随机事件、随机变量和概率分布等概念的基础上，熟练掌握几种常用随机变量性质、特点及其概率分布规律，尤其是正态分布的性质及应用；明确大数定理和中心极限定理的意义。【学习重点和难点】概率的定义几种常用的概率分布及应用大数定律和中心极限定理的意义概率的基本运算和概率分布及应用【课堂讲授内容】概率分布是统计推断的基础。概率分布与统计推断之间的联系纽带是抽样分布。当我们掌握了概率分布及大数定理和中心极限定理之后，就能理解某个样本的抽取是随机的，作为其反映数量特征的样本指标就是随机变量，而随机变量的概率分布是理解抽样分

2、布的关键。第一节随机变量及其概率分布一、随机变量的概念所谓随机变量，就是随机试验的定量描述。如果一个变量在随机试验中可以取得不同的数值，这些数值在试验前无法确定，而对于一次具体的试验它的取值又是确定的，则称这样的变量为随机变量。随机变量用大写字母X、Y、Z等表示，其具体取值常用小写字母x、y、z来表示。随机变量具有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能确定取哪个值；二是取值的统计规律性，即随机变量取值的可能性大小(概率)是完全可以确定的。随机变量按其取值情况可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。如果一个随机变量的所有可能取值都可以逐个列举出来，则称这样的随机变量为离散随

3、机变量。如果一个随机变量的可能取值不能一一列出，而是取某一区间的全部数值，则称这样的变量为连续随机变量。二、随机变量的概率分布随机变量X的所有可能取值与其对应的概率P（X）构成的概率分布规律，叫做随机变量的概率分布。（一）离散型随机变量的概率分布——分布列设离散型随机变量X的可能取值为取这些值的概率分别为：，则称（k=1，2，3，…）为离散型随机变量X的概率分布或分布列。用表格直观表示如下：XP由概率的性质可知，任一分布都必须满足以下两个条件：（1）0≤≤1k=1，2，3，…（2）对于离散随机变量X，称为X的分布函数。（二）连续型随机变量的概率分布由于连续型随机变量的取值是某

4、个区间，无法一一列举，因此不能用分布列来描述这类随机变量的统计规律。通常我们用数学函数的形式或分布函数的形式来描述。若函数f（x）满足下列两个条件：（1）（2），则称为连续型随机变量X的概率密度函数。称为连续型随机变量X的分布函数。易见，分布函数具有下列性质：，为非降函数，即若，则第二节随机变量的数字特征之所以称期望，是因为对未来的不确定的数求平均数。一、随机变量的数学期望随机变量的数学期望或均值，是反映随机变量集中趋势的一种重要统计指标，一般用E（X）或μ来表示，其又分为：离散型随机变量的数学期望：（当X的取值有限时）（当X的取值无限时）注意：实际上就是X的各个可能取值以其

5、概率为权数的加权算术平均值。连续型随机变量的数学期望：数学期望反映了随机变量X可能取值的平均水平，是刻画随机变量性质的一个重要特征。数学期望具有如下重要性质：（1）设C是常数，则E（C）=C；（2）设C是常数，X是随机变量，则E（CX）=CE（X）；（3）设为n个随机变量，则有（4）设X和Y为两个相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）二、随机变量的方差随机变量的方差是用来反映随机变量取值的离散程度的统计指标，它是每一个随机变量取值与其期望值的离差平方的期望值。一般用D（X）或σ2表示，方差的平方根叫标准差，一般用σ表示。其计算公式为：D（X）=E[X—E（X）]2

6、可简化为：D（X）=E（X2）—[E（X）]2离散型随机变量：连续型随机变量：方差和标准差反映了随机变量X的可能取值在其均值周围的分散程度。方差具有以下几个重要性质：（1）设C为常数，则D（C）=0（2）设C是常数，X是随机变量，则D（CX）=C2D（X）；（3）设为n个相互独立的随机变量，则有第三节几种重要的离散型概率分布一、二项分布二项分布是最重要的概率分布之一，它是从著名的贝努里试验中推导出来的。所谓贝努里试验，是指只有两个可能结果的随机试验。如果贝努里试验在相同条件下重复n次，并且各次的实验结果相互独立，则这样的系列试验称为n重贝努里试验。在每个特定的n重贝努里试验中

7、，设每次试验成功的概率为p（p值不变），失败的概率为q=1—p，则成功次数X是一个离散型随机变量，它的可能取值是0，1，2，…，n。可以求出随机变量X的分布列为：k=1，2，3，…，n。这种概率分布便称为二项分布。这里是在n次试验中成功次数的组合数，其计算公式为：二项分布列中的是对应于k值的每一种组合出现的概率。当一个随机变量X的分布为二项分布时，就称随机变量X服从二项分布，记作X～b（n，p）。二项分布的数学期望和方差分别为：和根据二项分布，不仅可以知道随机变量概率分布的全貌，而且还可以推算出随机变量