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《高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：6.2均值不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1第六章不等式均值不等式第讲22考点搜索●利用基本不等式证明不等式●运用重要不等式求最值●重要不等式在实际问题中的应用高考猜想在求函数的最值和实际问题中运用重要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现.一、算术平均数与几何平均数定理1.若a＞0，b＞0，则称_______为两个正数的算术平均数，称_______为两个正数的几何平均数.2.如果a、b为实数，那么a2+b2≥2abab≤_______，当且仅当a=b时取“=”号.3.如果a、b为正实数，那么≤_______，当且仅当a=b时取等号.3如果a+b为定值P,那么ab有最____值，为____;如果ab为定值S,那么
2、a+b有最___值,为____.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为_____、_____、_______.二、不等式恒成立问题不等式a≥f(x)恒成立，［f(x)］max存在_______________，不等式a≤f(x)恒成立，［f(x)］min存在_______________.4大小一正二定三相等a≥［f(x)］maxa≤［f(x)］mix1.若x,y∈R+,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是()A.当且仅当x=y时，s有最小值B.当且仅当x=y时，p有最大值C.当且仅当p为定值时，s有最小值D.若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值解：由均值不等式
3、易得答案为D.5D2.若x,y∈R+,x+y≤4,则下列不等式中成立的是()解：故选B.6B3.设a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()解法1：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断不成立.7D8解法2：可逐项使用均值不等式判断不等式成立;B.因为相乘得成立;C.因为又由得所以成立;D.因为，所以所以即不成立,故选D.91.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的理由.解：不对.设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、
4、右托盘称得重量分别为a,b，真实重量为G.10题型1利用均值不等式比较代数式的大小则由杠杆平衡原理有：l1·G=l2·b，①l2·G=l1·a.②①×②得G2=ab,所以.由于l1≠l2，故a≠b,由均值不等式知说法不对,真实重量是两次称量结果的几何平均值.11点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值.12131415解：因为x＞-1，所以x+1＞0.设x+1=z＞0，则x=z-1.把x=z-1代入函数式，得当且仅当z=2，即x
5、=1时上式取等号.所以当x=1时，函数y有最小值9，无最大值.16题型2求函数或代数式的最值2.设x＞-1，求函数的最值.点评：这是一类应用均值不等式求分式型函数的值域的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或积式)，且它们的积(或和)式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解.17设x≥0,y≥0,,则的最大值为______.解法1：因为x≥0,y≥0,，所以当且仅当(即)时,取得最大值18解法2：令则当2cos2θ=1+2sin2θ,即,即时，取得最大值.193.若对任意正实数x、y,不等式恒成立，则a的最小
6、值是.解：若不等式恒成立,则恒成立.所以因为所以当且仅当x=y时取等号.所以a≥，故amin=.20题型3用均值不等式求解不等式中的恒成立问题点评：求恒成立中的问题的方法比较多，本题利用的是分离变量法：即一边为所求参数a；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取x=y=1，由此猜想a的值.21(2010·山东卷)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是_______________．22解：因为对任意x>0恒成立，设u=x++3，所以只需a≥恒成立即可．因为x>0，所以u≥5(当且仅当x=1时取等号)．由u≥5知0<≤，故a≥.
7、23已知a、b、c∈R,求证：证明：因为所以同理,三式相加得241.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能.2.a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，而成立，则要求a＞0且b＞0.使用时，要明确定理成立的前提条件.3.均值不等式有a2+b2≥2ab，a+b≥等形式，解题时要根据问题特点适当选用.25
