如何理解运用数学的思维方式进行创新

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1、举例说明等价关系与中国剩余定理学院：能源与环境学院专业：能源与动力工程班级：能源三班姓名：李匡富学号：1562162331777/7123Q5/(/(/(X/^/(目录1.目录2.剩余定理…主理想整环数论•……3・等价关系」剩余定理元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙了算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体

2、问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程人位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十希，五树梅花卄一支，七子团圆正半月，除百零五使得知这个歌诀给出了模数为3、5、7吋候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70,将除以5得到的余数乘以21,将除以7得到的余数乘以15,全部加起来后除以105,得到的余数就是答案。比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23.主理想整环设R是一个主理想整环

3、，叫，盹，・・・，g是其中的k个元素，并且两两互质。令Mmim2...叫为这些元素的乘积，那么可以定义一个从商坏R/妳映射到环乘积R//niRX…XR/加R的同态：令:K^VfR—>RxR/wRx…x引用声x+MRt(^+Rrx+■r%+^R)并且是一个环同构。因此◎的逆映射也存在。而这个逆映射的构造方式就如同屮国剩余定理构造一元线性同余方程组的解一样。由于叫和M「M/nu互质，所以存在s和忘使得阳幘=1r.而映射护：Rx2Rx---xR—R^AfR価1十《?[1＜曲+此人…观+吨R)—二吋就是的逆映射。z也是一个主理想整环。将以上的R换成,就能得到

4、屮国剩余定理。因为^+w；R=

5、x;x三爲(modwj

6、一般的交换环设R是一个有单位元的交换环，厶厶.••丄是为环K的理想，并R当»*；吋M严K,,则有典范的环同构：申:R/(f]A■■■A"j—R/1)xxR/I

7、蔑+1]门■■■oJji$»+lie---rx+hl数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计

8、算数论等等。初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。初等数论屮经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理(其特例是费马小定理)、高斯的二次互反律，勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等⑴。等价关系是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。常用等价关系来划分集合，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：自反性：Va

9、eA,=>(a,a)eR对称性：(a,b)GRAaHb二〉(b,a)eR传递性：(a,b)eR,(b,c)WR二〉(a,c)WR则称R是定义在A上的-•个等价关系。设R是…个等价关系,若(a,b)丘R,则称a等价于b,记作a~b。例一：设A二{1,4,7},定义A上的关系只如下：R={(a,b)

10、a,b£AAa=bmod3}其屮a=bmod3叫做a与b模3同余，即a除以3的余数与b除以3的余数相等。不难验证R为A上的等价关系。设f是从A到B的-一个函数，定义A上的关系R:aRb,当且仅当fQ)=f(b),R是A上的等价关系。例二设R为定义在集合A上的

11、-个关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为等价关系。设R为集合A上的等价关系，对任何aeA,集合[a]二｛b

12、(a,b)eR｝称为元素a形成的等价类，其等价类集合｛[a]

13、a"｝,称作A关于R的商集，记作A/R。定理3.7.1设给定非空集合A上等价关系R,对于a,bGA,有aRb当IL仅当g]=[b]o定理3.7.2集合A上的等价关系R,确定了A的一个划分，该划分就是商集A/Ro定理3.7.3集合A的一个划分，确定A的元素间的一个等价关系。