高考复习-不等式的概念和性质

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1、第一节　不等式的概念和性质最新考纲1.理解不等式的性质．2．能灵活运用作差法或作商法证明不等式．高考热点以选择题或填空题的形式借助对单调性与充要条件的判定来考查不等式的性质及简单应用.＞，≥，＜，≤，≠a＞ba＝ba＜ba＞ba＝ba＜b3．不等式的性质现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分．第一部分为以下4条性质定理：(1)对称性：a＞b⇔；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔；(3)不等量加等量：a＞b⇔；(4)不等量乘正量：a＞b，c＞0⇔.b＜aa＞ca＋c＞b＋cac＞bca＋c＞b＋da－c＞b－dac＞bd6．要注意“a＞b＞0⇔an＞bn”(n∈N*且n

2、＞1)中n的奇偶性，当n为正奇数时，条件可放宽，即“a＞b⇒an＞bn”是成立的．7．由不等式的乘法法则可知在不等式的两边同时乘以(或除以)一个非零实数，不等号有可能改变，它取决于该实数的正负，因此不能在不等式两边同时乘以(或除以)一个含有字母又不能确实其正负性的代数式．1．注意不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性．a＞b⇔b＜a，a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b⇔ac＞bc(c＞0)等都是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当a＞b⇒/ac2＞bc2(∵当c＝0时，取“＝”)．题型一不等式性质的应用思维

3、提示不等式性质[分析]判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，特别注意条件与结论间的关系．[答案]C∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，∴③正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，④正确．答案：C题型二实数(代数式)大小的比较思维提示作商法或作差法[分析]左右项数相同，都是和或积，可分别采用作差法或作商法比较．[规律总结]实数大小的比较有“作差比较法”和“作商比较法”两种，可根据数式的结构特点灵活选用．“作差比较法”的关键一步是变形，手段可有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号，因此变形越彻底，越有利于

4、下一步的判断．在数式含有幂或根式、绝对值时，可采用“作商比较法”．在用“比较法”时，有时可将原数式变形后再作差或作商进行比较，若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系.例3设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．[分析]因为f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，而1≤a－b≤2,3≤a＋b≤4，又a－b与a＋b中的a、b不是独立的，而是相互制约的，因此，需将f(－2)用a－b和a＋b整体表示．题型三求数(式)的取值范围思维提示灵活应用不等式性质[规律总结]函数、方程与不等式之间互相渗透，涉及到多个参变量的函数取值范围时，可以运

5、用方程的思想，采用整体换元，通过列方程或待定系数法转换.备选例题3将题目条件改为“已知函数f(x)＝ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5”，求f(3)的取值范围．题型四不等式性质的灵活应用思维提示用不等式性质解决函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性等问题例4设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．[分析]运用对数函数的运算性质，对x的范围进行分类讨论．[规律总结]作差比较法是比较两个实数大小的最基本方法，其关键是作差后进行恒等变形，当差的符号不确定，要进行分类讨论.[答案]A[错因分析]解

6、法一构造函数，利用基本不等式，注意论证x－1＞0，求函数最值．解法二首先利用基本不等式，得到关于(x＋y)的一个一元二次不等式再解之，同时要注意等号成立的条件.